Bir koşu yarışmasının bitiş çizgisinin son metreleri eşit mesafeli siyah çizgiler ile bölünlenmiştir.
Aşağıda bu koşu pistinde koşan Eray ile Sezer’in anlık görüntüsü verilmiştir.
Sezer’in bitiş çizgisine uzaklığı 7 metreden fazla 9 metreden az olduğuna göre Eray’ın bitiş çizgisine uzaklığı ifadelerinden hangileri olabilir?
I. 15,1 metre
II. 13,1 metre
III. 11,1 metre
A) Yalnız I
B) Yalnız II
C) Yalnız III
D) II ve III
E) I, II ve III
Bir koşu yarışmasının bitiş çizgisinin son metreleri eşit mesafeli siyah çizgiler ile bölünlenmiştir
Koşu Yarışmasında Bitiş Çizgisine Olan Uzaklık Problemi
KULLANILAN KURAL / FORMÜL:
Pist üzerindeki ardışık siyah çizgiler arası mesafeye x metre diyelim. Bitiş çizgisi referans (0 noktası) alındığında, ardışık çizgilerin bitiş çizgisine olan uzaklıkları sırasıyla x, 2x, 3x, 4x, \dots şeklinde doğrusal olarak artar.
ÇÖZÜM ADIMLARI:
Adım 1 — Sezer ve Eray’ın Pist Üzerindeki Konum Aralıklarının Belirlenmesi
- Görsel incelendiğinde bitiş çizgisinden geriye doğru çizgiler x, 2x, 3x, 4x olarak sıralanır.
- Sezer, 2. çizgi ile 3. çizgi arasındadır:2x < \text{Sezer} < 3x
- Eray, 3. çizgi ile 4. çizgi arasındadır:3x < \text{Eray} < 4x
Adım 2 — Çizgiler Arası Mesafe (x) İçin Uygun Değer Aralığının Bulunması
Soruda Sezer’in bitiş çizgisine uzaklığının 7\text{ m} ile 9\text{ m} arasında olduğu verilmiştir:
7 < \text{Sezer} < 9
Sezer’in konumu 2x < \text{Sezer} < 3x aralığında olduğundan:
- 2x < 9 \implies x < 4{,}5\text{ metre}
- 3x > 7 \implies x > \frac{7}{3} \approx 2{,}33\text{ metre}
Dolayısıyla çizgiler arası mesafe 2{,}33 < x < 4{,}5 aralığındadır.
Adım 3 — Eray’ın Uzaklığının Öncüllerle Test Edilmesi
-
I. Öncül (15{,}1\text{ metre}):
x = 4\text{ metre} seçilirse:- Sezer için aralık: 2x = 8\text{ m} ile 3x = 12\text{ m} arasıdır. Sezer 8{,}5\text{ m} konumunda olabilir (7 < 8{,}5 < 9 şartı sağlanır).
- Eray için aralık: 3x = 12\text{ m} ile 4x = 16\text{ m} arasıdır.
- 15{,}1\text{ m} bu aralıkta (12 < 15{,}1 < 16) yer aldığı için olabilir.
-
II. Öncül (13{,}1\text{ metre}):
x = 3{,}8\text{ metre} seçilirse:- Sezer için aralık: 2x = 7{,}6\text{ m} ile 3x = 11{,}4\text{ m} arasıdır. Sezer 8\text{ m} konumunda olabilir (7 < 8 < 9 şartı sağlanır).
- Eray için aralık: 3x = 11{,}4\text{ m} ile 4x = 15{,}2\text{ m} arasıdır.
- 13{,}1\text{ m} bu aralıkta (11{,}4 < 13{,}1 < 15{,}2) yer aldığı için olabilir.
-
III. Öncül (11{,}1\text{ metre}):
x = 3\text{ metre} seçilirse:- Sezer için aralık: 2x = 6\text{ m} ile 3x = 9\text{ m} arasıdır. Sezer 7{,}5\text{ m} konumunda olabilir (7 < 7{,}5 < 9 şartı sağlanır).
- Eray için aralık: 3x = 9\text{ m} ile 4x = 12\text{ m} arasıdır.
- 11{,}1\text{ m} bu aralıkta (9 < 11{,}1 < 12) yer aldığı için olabilir.
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
CEVAP: E) I, II ve III (Verilen üç uzaklık değeri de Eray’ın konumu için uygundur.)
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
TEMEL KAVRAMLAR:
1. Doğrusal Eşitsizlik Aralıkları
- Tanım: Bir değişkenin alt ve üst sınırlarını belirleyerek olası değer kümesini tanımlayan matematiksel ifadelerdir.
- Bu problemde: İki koşucunun çizgiler arasındaki konumları ve Sezer’in bilinen mesafe aralığı kullanılarak x değişkeninin sınırları elde edilmiş, ardından Eray’ın konum aralığı test edilmiştir.
SIK YAPILAN HATALAR:
Eray ve Sezer’i Sabit Noktalar Olarak Düşünmek
- Yanlış: Çizgiler arasındaki boşlukları hesaba katmadan doğrudan 7 ve 9 sayılarına sabit değerler eklemek.
- Doğru: Her iki koşucunun da çizgilerin tam üzerinde değil, iki çizgi arasında herhangi bir reel noktada bulunabileceğini göz önüne alarak aralık hesabı yapmak.
- Neden yanlış: Koşucular çizgiler arasındaki herhangi bir noktada bulunabildiği için aralıklar geniş bir olası değerler kümesi oluşturur.
Bu tip eşitsizlik ve sayı doğrusu modelleme sorularıyla ilgili benzer bir alıştırma sorusu çözmemi ister misin?