Bir kenarı 1 birim olan küp biçimindeki tahta parçası kırmızı ile boyanıyor. Daha sonra 27 adet eş küpe ayrılıyor.
Buna göre, bu 27 parçanın boyasız yüzeylerinin alanları toplamı kaç birimkaredir?
A) 6
B) 8
C) 12
D) 16
E) 18
Katı Cisimlerde Alan ve Parçalama Problemleri
KULLANILAN FORMÜL / KURAL: Bir küpün yüzey alanı A = 6a^2 formülü ile hesaplanır. Dış yüzeyi boyandıktan sonra parçalanan bir cisimde oluşan boyasız yüzey alanı, tüm küçük parçaların toplam yüzey alanından orijinal büyük küpün boyalı dış yüzey alanının çıkarılmasıyla doğrudan bulunur.
ÇÖZÜM ADIMLARI
Adım 1 — Orijinal Küpün Boyalı Dış Yüzey Alanını Bulma
Bir kenarı 1\text{ birim} olan büyük küpün tamamı dışarıdan boyandığı için boyalı alan, bu küpün toplam dış yüzey alanına eşittir:
A_{\text{boyalı}} = 6 \times 1^2 = 6\text{ birimkare}
Adım 2 — 27 Eş Küpün Toplam Yüzey Alanını Hesaplama
Büyük küp 27 adet eş küpe ayrıldığında, her bir ayrıt 3 eşit parçaya bölünür (3 \times 3 \times 3 = 27). Dolayısıyla oluşan küçük küplerin bir kenar uzunluğu a = \frac{1}{3}\text{ birim} olur.
- Bir küçük küpün yüzey alanı: 6 \times \left(\frac{1}{3}\right)^2 = 6 \times \frac{1}{9} = \frac{2}{3}\text{ birimkare}
- 27 adet küçük küpün toplam yüzey alanı:
A_{\text{toplam}} = 27 \times \frac{2}{3} = 18\text{ birimkare}
Adım 3 — Boyasız Yüzeylerin Alanları Toplamı
Küçük küplerin tüm yüzey alanından dışta kalan kırmızı boyalı yüzeyler çıkarıldığında geriye kesilme sonucu açığa çıkan boyasız iç yüzeyler kalır:
A_{\text{boyasız}} = A_{\text{toplam}} - A_{\text{boyalı}} = 18 - 6 = 12\text{ birimkare}
CEVAP: C) 12 (A_{\text{boyasız}} = 12\text{ birimkare})
SINAV NOTU / PÜF NOKTASI: Parçaların köşe, kenar veya merkezde olmasına göre tek tek boyalı/boyasız yüz saymak yerine; (Toplam Alan) − (İlk Alan) bağıntısını kullanmak ÖSYM tarzı katı cisim sorularında işlem hatasını önler ve zaman kazandırır.