- Bir karton modelde ABC üçgeninin iç bölgesindeki ADB üçgeni, AD doğrusu boyunca katlanıyor. Katlama sonucunda B noktası, [DC] üzerinde bulunan ve C noktasına uzaklığı 4 birim olan K noktası ile çakışıyor.
|AB| = 8 birim olduğuna göre |AC| = x’in alacağı tam sayı değerlerinin toplamı kaçtır?
A) 21 B) 24 C) 27 D) 30 E) 38
ABC Üçgeninde Katlama Sonucu |AC| = x Uzunluğunun Alabileceği Tam Sayı Değerleri Toplamı
KULLANILAN FORMÜLLER / KURALLAR:
- Katlama Simetrisi: Bir şekil bir doğru boyunca katlandığında kenar uzunlukları ve açı ölçüleri korunur. (|AK| = |AB| = 8, m(\angle ADB) = m(\angle ADK) = 90^\circ)
- Üçgen Eşitsizliği: Kenar uzunlukları a, b, c olan bir üçgende |a - b| < c < a + b olur.
- Geniş Açılı Üçgen Kuralı: Bir üçgende bir açı \alpha > 90^\circ ise bu açının karşısındaki kenar için c^2 > a^2 + b^2 eşitsizliği geçerlidir.
ÇÖZÜM ADIMLARI:
Adım 1 — Katlama Özelliklerinin Belirlenmesi
ADB üçgeni [AD] doğrusu boyunca katlandığında B noktası [DC] üzerindeki K noktasına gelmektedir.
- Katlama sonucunda:|AK| = |AB| = 8\text{ birim}
- B, D, K, C noktaları doğrusal olduğundan:m(\angle ADB) = m(\angle ADK) = 90^\circ
Adım 2 — AKC Üçgeninde Açı Analizi
- ADK dik üçgeninde m(\angle ADK) = 90^\circ olduğundan, m(\angle AKD) açısı dar açıdır (< 90^\circ).
- D, K, C noktaları doğrusal olduğu için m(\angle AKC) ile m(\angle AKD) bütünlerdir:m(\angle AKC) = 180^\circ - m(\angle AKD) > 90^\circ\quad (\text{Geniş Açı})
Adım 3 — AKC Üçgeninde Kenar Eşitsizliklerinin Kurulması
AKC üçgeninde |AK| = 8\text{ birim}, |KC| = 4\text{ birim} ve |AC| = x’tir.
-
Üçgen Eşitsizliği:
|8 - 4| < x < 8 + 44 < x < 12 -
Geniş Açı Eşitsizliği (m(\angle AKC) > 90^\circ):
x^2 > 8^2 + 4^2x^2 > 64 + 16x^2 > 80 \implies x > \sqrt{80} \approx 8{,}94
Adım 4 — Eşitsizliklerin Kesişimi ve Tam Sayı Değerlerinin Hesaplanması
İki eşitsizlik birleştirildiğinde:
\sqrt{80} < x < 12
x’in alabileceği tam sayı değerleri:
x \in \{9, 10, 11\}
Bu değerlerin toplamı:
9 + 10 + 11 = 30
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
CEVAP: D şıkkı (30)
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
TEMEL KAVRAMLAR:
1. Katlama Çizgisi ve Açıortay İlişkisi
- Tanım: Katlama çizgisi, üst üste gelen elemanlar için simetri eksenidir ve kenarortay/açıortay/yükseklik özellikleri doğurabilir.
- Bu problemde: AD boyunca katlandığında doğru üzerinde çakışma olduğu için AD \perp BC olduğu ve |AK| = |AB| eşitliği elde edilmiştir.
2. Açı-Kenar Bağıntıları (Geniş Açı)
- Tanım: Bir üçgende 90^\circ’den büyük olan açının karşısındaki kenarın karesi, diğer iki kenarın kareleri toplamından daima büyüktür.
- Bu problemde: K köşesindeki açının geniş açı olması, x alt sınırını 4’ten \sqrt{80}'e yükseltmiştir.
SIK YAPILAN HATALAR:
Geniş Açı Şartını İhmal Etmek
- Yanlış: Sadece 4 < x < 12 üçgen eşitsizliğini kullanarak x \in \{5, 6, 7, 8, 9, 10, 11\} değerlerini toplamak.
- Doğru: \angle AKD açısının dar açı, dolayısıyla komşusu olan \angle AKC açısının geniş açı (>90^\circ) olduğunu fark edip x^2 > 8^2 + 4^2 şartını da uygulamak.
- Neden yanlış: Geometrik olarak AD \perp BC olduğunda x’in 8{,}94’ten küçük olması mümkün değildir.
Benzer bir katlama ve açı-kenar bağıntısı sorusu çözerek konuyu daha da pekiştirmek ister misin?