Bir işletmede 180 adet lavanta kokulu ve 243 adet limon kokulu sabun üretilmiştir. Sabunların tamamı, her pakette eşit sayıda ve yalnızca aynı kokudaki sabunlar bulunacak şekilde, en az sayıda paket kullanılarak paketlenmiştir. Paketleme sonrasında yapılan kontrolde 21 lavanta kokulu sabunun, 28 limon kokulu sabunun kusurlu olduğu belirlenmiştir.
Buna göre içinde kusurlu sabun bulunmayan paketlerin sayısı en fazla kaçtır?
A) 38
B) 39
C) 40
D) 41
Kusursuz Sabun Paketi Sayısı Problemi
KULLANILAN FORMÜL / KURAL:
Sabunların paketlere eşit miktarda ve en az sayıda paket kullanılacak şekilde paylaştırılması için her bir paketteki sabun sayısı, üretilen sabun miktarlarının En Büyük Ortak Böleni (\text{EBOB}) olmalıdır:
\text{Paket Kapasitesi} = \text{EBOB}(a, b)
ÇÖZÜM ADIMLARI:
Adım 1 — Paket Başına Düşen Sabun Sayısını Bulma
En az sayıda paket kullanılması istendiğinden, bir paketteki sabun sayısı 180 ve 243 sayılarının en büyük ortak böleni (\text{EBOB}) olmalıdır.
180 = 2^2 \times 3^2 \times 5
243 = 3^5
\text{EBOB}(180, 243) = 3^2 = 9
Her bir pakette 9 adet sabun bulunmaktadır.
Adım 2 — Toplam Paket Sayılarını Hesaplama
- Lavanta kokulu sabun paket sayısı:
\frac{180}{9} = 20\text{ paket}
- Limon kokulu sabun paket sayısı:
\frac{243}{9} = 27\text{ paket}
- Toplam paket sayısı:
20 + 27 = 47\text{ paket}
Adım 3 — Kusurlu Sabun İçeren En Az Paket Sayısını Bulma
İçinde kusurlu sabun bulunmayan paket sayısının en fazla olması için, kusurlu sabunların paketlere en yoğun şekilde (mümkün olduğunca az sayıda pakete toplanarak) dağıtılması gerekir. Bir pakete en fazla 9 adet sabun konulabilmektedir.
- Lavanta paketleri için kusurlu paket sayısı:
21 adet kusurlu sabun vardır. Paketler 9’ar sabun aldığından:
21 = (2 \times 9) + 3
Kusurlu sabunlar en az 2 + 1 = 3 pakete dağıtılabilir (İki pakette 9’ar, bir pakette 3 kusurlu sabun).
Dolayısıyla kusursuz lavanta paket sayısı en fazla:
20 - 3 = 17\text{ paket}
- Limon paketleri için kusurlu paket sayısı:
28 adet kusurlu sabun vardır. Paketler 9’ar sabun aldığından:
28 = (3 \times 9) + 1
Kusurlu sabunlar en az 3 + 1 = 4 pakete dağıtılabilir (Üç pakette 9’ar, bir pakette 1 kusurlu sabun).
Dolayısıyla kusursuz limon paket sayısı en fazla:
27 - 4 = 23\text{ paket}
Adım 4 — İçinde Kusurlu Sabun Bulunmayan Toplam Paket Sayısı
17 + 23 = 40\text{ paket}
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
CEVAP: C) 40
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
TEMEL KAVRAMLAR:
- EBOB (En Büyük Ortak Bölen): Farklı miktarlardaki nesneleri eşit kapasiteli en büyük gruplara ayırarak grup (paket) sayısını minimuma indirmek için kullanılır.
- Optimizasyon (En Çok / En Az Mantığı): Kusursuz paket sayısını en çok yapmak için, kusurlu ürünler paket kapasitesi (9) sınırına kadar doldurularak en az sayıda pakete toplanır.
SIK YAPILAN HATALAR:
Hatalı Yaklaşım: Toplam kusurlu sabun sayısını (21 + 28 = 49) toplayıp doğrudan 9’a bölmeye çalışmak.- Doğru Yaklaşım: Soruda sabunların yalnızca aynı kokuda olanlar birlikte paketlenecektir kuralı verildiği için lavanta ve limon paketlerindeki kusurlar ayrı ayrı analiz edilmelidir.
Bu konuyla ilgili EBOB yardımıyla çözülen benzer bir yeni nesil soru daha çözmek ister misin?
@Akademik_Rehber Ben 3 ve 1’i toplayıp 47’den çıkardım neden yanlış?
Harika bir noktaya parmak bastın! Bu soru tipinde öğrencilerin en sık düştüğü ince mantık hatası tam olarak burasıdır. Gel, neden hatalı olduğunu adım adım ve somutlaştırarak inceleyelim:
Hatanın Kaynağı: Bölme İşlemindeki “Bölüm” ve “Kalan” Kavramı
Bölme işlemi yaptığında bulduğun sayılar şunlardı:
- Lavanta için: 21 \div 9 = \mathbf{2} (kalan: \mathbf{3})
- Limon için: 28 \div 9 = \mathbf{3} (kalan: \mathbf{1})
Sen işleminde kalanları (3 ve 1) toplayıp (3 + 1 = 4) toplam paket sayısından (47 - 4 = 43 ya da 47 - (3+1)) çıkarmayı düşündün. Ancak buradaki sayılar paket sayısını değil, arta kalan sabun adedini gösterir.
Paketlerin İçine Birlikte Bakalım:
Bir paketin “kusurlu paket” sayılması için içinde yalnızca 1 tane bile kusurlu sabun olması yeterlidir.
1. Lavanta Paketleri (21 Kusurlu Sabun):
Kusurlu sabunları olabildiğince az pakete sıkıştırmak istiyoruz:
- 1. Paket: 9 tane kusurlu sabun koyduk (Paket tamamen kusurlu oldu).
- 2. Paket: 9 tane kusurlu sabun koyduk (Paket tamamen kusurlu oldu).
- Geriye 21 - 18 = 3 tane kusurlu sabun kaldı.
- 3. Paket: Bu kalan 3 kusurlu sabunu mecburen yeni bir pakete koymak zorundayız (Bu pakette 3 kusurlu, 6 sağlam sabun olur).
Sonuç: Lavantada kusurlu sabun bulaşan paket sayısı 2 değil, kalan sabundan dolayı 3 pakettir.
2. Limon Paketleri (28 Kusurlu Sabun):
- 1. Paket: 9 tane kusurlu sabun.
- 2. Paket: 9 tane kusurlu sabun.
- 3. Paket: 9 tane kusurlu sabun.
- Buraya kadar 27 kusurlu sabun paketlendi. Geriye 28 - 27 = 1 kusurlu sabun kaldı.
- 4. Paket: Kalan o 1 tek kusurlu sabun bile girdiği paketi “kusurlu paket” yapar (Bu pakette 1 kusurlu, 8 sağlam sabun olur).
Sonuç: Limonda kusurlu sabun bulaşan paket sayısı 3 değil, kalan sabundan dolayı 4 pakettir.
Özet:
İçinde kusurlu sabun olan paketler:
- 3 paket lavanta
- 4 paket limon
Toplam = 7 paket kusurludur.
Geriye kalan tertemiz paketler:
47 - 7 = 40\text{ paket}
Kalan sabunlar tek başlarına boşlukta duramaz; mutlaka bir paketin içine girer ve girdikleri o paketi de kusurlu yaparlar!
Mantığın bu şekilde kafana tam yattı mı?
Buradayım! Az önceki çözümle veya başka bir soruyla ilgili takıldığın, aklına takılan herhangi bir nokta var mı? Çözmemi istediğin soruyu gönderebilirsin, birlikte bakalım!