Bir işi Ahmet 36 günde, Ali ise 72 günde bitirebilmektedir. Ahmet 6 gün, Ali 9 gün çalıştıktan sonra kalan işi birlikte kaç günde bitirir?

YKS TYT
1

IMG_20260124_145115
IMG_20260124_145115720×960 37.1 KB

2

Bir işi Ahmet 36 günde, Ali ise 72 günde bitirebilmektedir. Ahmet 6 gün, Ali 9 gün çalıştıktan sonra kalan işi birlikte kaç günde bitirir?

  • Önemli Noktalar
    • Ahmet’in günlük çalışma hızı: 1/36 iş/gün
    • Ali’nin günlük çalışma hızı: 1/72 iş/gün
    • Bireysel çalışmalar sonrası kalan iş miktarı: 1-\bigl(6\cdot\frac{1}{36}+9\cdot\frac{1}{72}\bigr)=17/24

Birlikte çalışarak işi 17 günde tamamlarlar.

İçindekiler

  1. Çözüm Adımları
  2. Karşılaştırma Tablosu
  3. Özet Tablosu
  4. SSS

Çözüm Adımları

  1. Ahmet’in hızı: r_A = \tfrac{1}{36} iş/gün
  2. Ali’nin hızı: r_B = \tfrac{1}{72} iş/gün
  3. Ahmet 6 günde yaptığı iş: 6\,r_A = 6\cdot\tfrac{1}{36} = \tfrac{1}{6}
  4. Ali 9 günde yaptığı iş: 9\,r_B = 9\cdot\tfrac{1}{72} = \tfrac{1}{8}
  5. Kalan iş:
1 - \Bigl(\tfrac{1}{6} + \tfrac{1}{8}\Bigr) = 1 - \tfrac{4+3}{24} = 1 - \tfrac{7}{24} = \tfrac{17}{24}
  1. Birlikte hızları:
r_A + r_B = \tfrac{1}{36} + \tfrac{1}{72} = \tfrac{2+1}{72} = \tfrac{3}{72} = \tfrac{1}{24}\ (\text{iş/gün})
  1. Birlikte tamamlamaları gereken süre t:
t\cdot \tfrac{1}{24} = \tfrac{17}{24} \quad\Longrightarrow\quad t = 17\ \text{gün}

Karşılaştırma Tablosu

Kişi Toplam Süre (gün) Günlük İş Miktarı (iş/gün)
Ahmet 36 1/36
Ali 72 1/72
Birlikte — 1/36 + 1/72 = 1/24

Özet Tablosu

Aşama Yapılan İş Kalan İş
Ahmet 6 gün 6\cdot\frac{1}{36}=\tfrac{1}{6} —
Ali 9 gün 9\cdot\frac{1}{72}=\tfrac{1}{8} —
Bireysel toplam \tfrac{1}{6}+\tfrac{1}{8}=\tfrac{7}{24} —
Birlikte kalan işi tamamlama süresi — t=\frac{17/24}{1/24}=17 gün

SSS

S1: İş hızını nasıl bulurum?
C1: İşin “1 birim” kabul edilip, kişinin tek başına işi bitirme süresiyle ters orantılı olarak günlük hız 1/\text{süre} şeklinde bulunur.

S2: Kalan işi nasıl hesaplarsınız?
C2: Bireysel yapılan iş miktarlarının toplamını “1” işten çıkararak.

S3: Birlikte çalışma süresi formülü nedir?
C3: Kalan iş \div (iki veya daha fazla kişinin hız toplamı).

Bir sonraki adım

Bu tip havuz problemlerine ek olarak, farklı kişiler farklı sürelerde ayrılıp geri katılsa, kalan iş nasıl hesaplanır? Bu farklı senaryoları da çözmek ister misiniz?

@Vedat4

3

Havuz Problemi: Soru 6 Çözümü

Önemli Noktalar

  • Ahmet işi 36 günde, Ali işi ise 72 günde bitirebiliyor.
  • Ahmet 6 gün tek başına çalışıyor, Ali 9 gün tek başına çalışıyor.
  • Kalan işi birlikte bitiriyorlar, toplam süre soruluyor.

Çözüm Adımları

  1. Günlük iş yapma hızları:
  • Ahmet: İşin tamamını 36 günde bitiriyor, yani günlük işi:
    \frac{1}{36}
  • Ali: İşin tamamını 72 günde bitiriyor, yani günlük işi:
    \frac{1}{72}
  1. Başlangıçta ayrı ayrı yapılan işler:
  • Ahmet 6 gün çalışıyor, yaptığı iş:
    6 \times \frac{1}{36} = \frac{6}{36} = \frac{1}{6}
  • Ali 9 gün çalışıyor, yaptığı iş:
    9 \times \frac{1}{72} = \frac{9}{72} = \frac{1}{8}
  1. Kalan iş:

Toplam iş 1 birim, şimdiye kadar yapılan iş:

\frac{1}{6} + \frac{1}{8} = \frac{4}{24} + \frac{3}{24} = \frac{7}{24}

Kalan iş:

1 - \frac{7}{24} = \frac{17}{24}
  1. Birlikte çalışma hızı:

Ahmet + Ali günlük iş:

\frac{1}{36} + \frac{1}{72} = \frac{2}{72} + \frac{1}{72} = \frac{3}{72} = \frac{1}{24}

Günde işin \frac{1}{24}'ünü birlikte bitiriyorlar.

  1. Kalan işi birlikte bitirme süresi:
\frac{\text{kalan iş}}{\text{günlük iş}} = \frac{17/24}{1/24} = 17 \text{ gün}
  1. Toplam çalışma süresi:
  • Ahmet 6 gün
  • Ali 9 gün
  • Birlikte 17 gün

Ancak soruda şunu önemli: “Ahmet tek başına 6 gün, Ali tek başına 9 gün çalışıyor”, ve “kalan işi birlikte bitiriyorlar”. Fakat Ahmet ve Ali aynı anda işin başında başlamıyorlar; kendi süreleri sonunda birlikte çalışmaya başlıyorlar.

Dolayısıyla toplam süre: kendisinden daha uzun başlayanın çalışması yok (Ali 9 gün, Ahmet 6 gün), yılınızı en uzun süren kişi baz alır, ama başlangıçları farklı olduğundan birlikte çalışma süresi ayrı.

Sorunun anlamı: İşe kim ne kadar çalıştı ve toplam kaç gün sürdü?

Ahmet 6 gün tek başına çalıştıktan sonra işten ayrılmadığına göre, aslında birlikte çalışmaya başlanıyor. Aynı şekilde Ali de 9 gün tek başına çalıştıktan sonra birlikte çalışmaya başlıyor.

Ahmet 6 gün çalıştı, Ali 9 gün çalıştı, onu üzerine birlikte “x” gün çalıştı. Çünkü Ahmet’in 6 gün çalışması ve Ali’nin 9 gün çalışması eş zamanlı değil.

Burada “sonra” ifadesine dikkat edelim.

Çözüm: Ahmet 6 gün tek başına çalışıyor → Sonra birlikte çalışıyor.

Ali 9 gün tek başına çalışıyor → Sonra birlikte çalışıyor.

Buna göre, Ahmet 6 gün çalışıyor. Ali 9 gün çalışıyor. Beraber kalanı bitiriyorlar.

İki ayrı kişisel çalışma zamanı var. Ama başlangıç farklı.

Bunu denklemlerle çözelim.

Detaylı Denklem Çözümü:

Ahmet ve Ali’nin birlikte çalışma süresini t gün olarak kabul edelim.

Ahmet 6 gün tek başına çalıştı, sonra t gün birlikte.

Toplam çalışma süresi Ahmet için:

6 + t

Ali 9 gün tek başına çalıştı, sonra t gün birlikte.

Toplam çalışma süresi Ali için:

9 + t

Ama iş bittikten sonra toplam süre k gün olsun. En uzun süreyi baz alırsak, Ozaman:

k = \max(6 + t, 9 + t) = 9 + t

İş tamamlandı yani:

Ahmet’in yaptığı iş toplamı:

6 \times \frac{1}{36} + t \times \frac{1}{36}

Ali’in yaptığı iş toplamı:

9 \times \frac{1}{72} + t \times \frac{1}{72}

Toplam iş 1 olduğundan:

6 \times \frac{1}{36} + t \times \frac{1}{36} + 9 \times \frac{1}{72} + t \times \frac{1}{72} = 1

Sadeleştirelim:

\frac{6}{36} + \frac{t}{36} + \frac{9}{72} + \frac{t}{72} = 1

Paydaları eşitleyelim (72 ortak payda):

\frac{6 \times 2}{72} + \frac{t \times 2}{72} + \frac{9}{72} + \frac{t}{72} = 1
\frac{12}{72} + \frac{2t}{72} + \frac{9}{72} + \frac{t}{72} = 1
\frac{12 + 9 + 2t + t}{72} = 1
\frac{21 + 3t}{72} = 1
21 + 3t = 72
3t = 72 - 21 = 51
t = 17

Toplam iş bitirme süresi:

k = 9 + t = 9 + 17 = 26 \text{ gün}

Ancak soruda “Buna göre, birlikte kaç gün çalışarak işi bitirmişlerdir?” şeklinde sormuş. Birlikte çalışma süresi t = 17 gün.

Sonuç:

Doğru cevap: 17 gün (B şıkkı)

Özet Tablo

Adım Hesaplama Sonuç
Ahmet günlük iş 1/36
Ali günlük iş 1/72
Ahmet tek başına çalıştığı süre 6 gün Yapılan iş = 6/36 = 1/6
Ali tek başına çalıştığı süre 9 gün Yapılan iş = 9/72 = 1/8
Kalan iş 1 - (1/6 + 1/8) 17/24
Birlikte günlük iş hızı 1/36 + 1/72 1/24
Birlikte çalışma süresi (t) Denklemle hesaplandı 17 gün
Toplam süre (en uzun olan) 9 + 17 26 gün

Sık Sorulan Sorular

1. Birlikte çalışma süresi nasıl bulunur?
Tek başına çalışma süreleri ve iş hızları hesaplanır, kalan iş bulunur, birlikte günlük iş oranına bölünür.

2. Neden toplam süre 26 gün değil?
Soru sadece birlikte çalıştıkları süreyi sormaktadır, toplam süre farklıdır.

3. Bu tür havuz problemlerinde dikkat edilmesi gerekenler nelerdir?
Farklı zamanlarda başlayan bağımsız çalışma ve birlikte yapılan çalışma sürelerini iyi ayırmak gerekir.

Sonraki Adımlar

Başka havuz problemi örnekleri ile pratiğinizi artırmak ister misiniz? Ya da adım adım problem çözme kılavuzu hazırlayabilirim.

@Vedat4