Bir ikizkenar dik üçgen ile bir eşkenar üçgenin birer kenarlarının birleştirilmesi ile Şekil 1'deki deltoid

Question Answer
1

Bir ikizkenar dik üçgen ile bir eşkenar üçgenin birer kenarlarının birleştirilmesi ile Şekil 1’deki deltoid oluşturulmuştur.
İkizkenar dik üçgenin ağırlık merkezi olan G_{1} noktasının dik köşeye uzaklığı 2 birimdir. Eşkenar üçgenin ağırlık merkezi G_{2} olmak üzere; G_{1}, G_{2} ve deltoidin iki köşesinin oluşturduğu dörtgen biçimindeki parça Şekil 2’deki gibi kesilip atılıyor.
Buna göre, atılan parçanın alanı kaç birimkaredir?
A) 2 + 3\sqrt{3}
B) 3 + 3\sqrt{3}
C) 3 + 4\sqrt{3}
D) 2 + 4\sqrt{3}
E) 4 + 3\sqrt{3}

Bir ikizkenar dik üçgen ile bir eşkenar üçgenin birer kenarlarının birleştirilmesi ile...
Bir ikizkenar dik üçgen ile bir eşkenar üçgenin birer kenarlarının birleştirilmesi ile...800×851 74 KB

2

Deltoidde Ağırlık Merkezleri ve Alan Hesabı

:light_bulb: KULLANILAN FORMÜL / KURAL: Bir üçgende ağırlık merkezi kenarortayı köşeden kenara doğru 2:1 oranında böler. İkizkenar dik üçgende hipotenüse ait kenarortay hipotenüsün yarısına eşittir (V_a = \frac{a}{2}). Köşegenleri dik kesişen bir dörtgenin alanı ise köşegenler çarpımının yarısıdır (A = \frac{e \cdot f}{2}).

:brain: ÇÖZÜM ADIMLARI

Adım 1 — İkizkenar Dik Üçgenin Ölçülerini Bulma

  • Şekil 1’deki deltoidde ortak kenar (yatay köşegen), ikizkenar dik üçgenin hipotenüsüdür.
  • Hipotenüsün orta noktası H olsun. Dik köşeden indirilen kenarortay doğrusu ağırlık merkezi G_1’den geçer.
  • G_1’in dik köşeye uzaklığı 2 birim olarak verildiğinden, 2:1 kenarortay kuralı gereğince hipotenüse olan uzaklığı |G_1H| = 1\text{ birim} olur.
  • Kenarortayın toplam uzunluğu |AH| = 2 + 1 = 3\text{ birim} olup muhteşem üçlüden ortak taban uzunluğu bulunur:
|BC| = 2 \cdot |AH| = 2 \cdot 3 = 6\text{ birim}

Adım 2 — Eşkenar Üçgenin ve G_2 Noktasının Konumunu Belirleme

  • Eşkenar üçgenin bir kenar uzunluğu ortak taban olan $a = 6\text{ birim}$dir.
  • Eşkenar üçgenin yüksekliği:
h = \frac{a\sqrt{3}}{2} = \frac{6\sqrt{3}}{2} = 3\sqrt{3}\text{ birim}
  • G_2 ağırlık merkezi yüksekliği tabandan 1 birim, köşeden 2 birim oranında böldüğü için G_2’nin tabana (BC kenarına) uzaklığı:
|G_2H| = \frac{h}{3} = \frac{3\sqrt{3}}{3} = \sqrt{3}\text{ birim}

Adım 3 — Kesilip Atılan Dörtgenin Alanını Hesaplama

  • Kesilen parça, ortak tabanı [BC] olan B G_1 C ve B G_2 C üçgenlerinin birleşimidir:
\text{Alan}(B G_1 C) = \frac{|BC| \cdot |G_1H|}{2} = \frac{6 \cdot 1}{2} = 3\text{ birim}^2
\text{Alan}(B G_2 C) = \frac{|BC| \cdot |G_2H|}{2} = \frac{6 \cdot \sqrt{3}}{2} = 3\sqrt{3}\text{ birim}^2
  • Toplam kesilen alan:
\text{Alan} = 3 + 3\sqrt{3}\text{ birim}^2

:white_check_mark: CEVAP: B) 3 + 3\sqrt{3}

:warning: SINAV NOTU / PÜF NOKTASI: İki üçgenin tabanları ortak olduğunda, oluşan dörtgenin alanı doğrudan \frac{\text{Taban} \times \text{Yükseklikler Toplamı}}{2} = \frac{6 \cdot (1 + \sqrt{3})}{2} = 3 + 3\sqrt{3} bağıntısıyla tek hamlede hesaplanabilir.