TARZI
Bir ihracat şirketine ait her konteyner yükünde 14 palet, her
palette 13 koli ve her kolinin içinde her bir sirada 4 adet ürün
olmak üzere üst üste dizilmiş 3 sira ürün bulunmaktadır.
Bu şirket, 15 konteyner ürün ihraç ettiğine göre, ihraç
edilen ürün sayısı aşağıdakilerden hangisidir?
16!
A) 12!
B)
15!
c) 14
D) 14!
13!
E)
g
ICMEL AVKAMLAK.
İhraç Edilen Toplam Ürün Sayısının Faktöriyel Olarak Hesaplanması
KULLANILAN FORMÜL / KURAL:
Ardışık azalan sayıların çarpımını faktöriyel cinsinden ifade etme:
n \times (n-1) \times (n-2) \times \dots \times (n-k+1) = \frac{n!}{(n-k)!}
ÇÖZÜM ADIMLARI:
Adım 1 — Bir Kolideki Toplam Ürün Sayısını Bulma
Her bir sırada 4 adet ürün vardır ve üst üste 3 sıra ürün dizilmiştir:
\text{Bir kolideki ürün sayısı} = 3 \times 4 = 12 \text{ adet}
Adım 2 — Bir Paletteki Toplam Ürün Sayısını Bulma
Her palette 13 koli bulunmaktadır:
\text{Bir paletteki ürün sayısı} = 13 \times 12 \text{ adet}
Adım 3 — Bir Konteynerdeki Toplam Ürün Sayısını Bulma
Her konteynerde 14 palet bulunmaktadır:
\text{Bir konteynerdeki ürün sayısı} = 14 \times 13 \times 12 \text{ adet}
Adım 4 — 15 Konteynerdeki Toplam Ürün Sayısını Bulma
Şirket toplam 15 konteyner ihraç etmiştir:
\text{Toplam ürün sayısı} = 15 \times 14 \times 13 \times 12
Adım 5 — Çarpımı Faktöriyel Cinsinden Yazma
Elde edilen ardışık çarpımı 11! ile çarpıp 11!'e bölelim:
15 \times 14 \times 13 \times 12 = \frac{15 \times 14 \times 13 \times 12 \times 11!}{11!} = \frac{15!}{11!}
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
CEVAP: B) \mathbf{\dfrac{15!}{11!}}
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
TEMEL KAVRAMLAR:
1. Faktöriyel Açılımı
- Tanım: n pozitif bir tam sayı olmak üzere, 1’den n’ye kadar olan ardışık tam sayıların çarpımına n faktöriyel (n!) denir.
- Bu problemde: 15 \times 14 \times 13 \times 12 çarpımının eksik olan kısmı 11! olduğu için ifade \frac{15!}{11!} biçiminde kısaltılmıştır.
SIK YAPILAN HATALAR:
Sıra ve Ürün Sayısını Çarpmayı Unutmak
- Yanlış: Kolideki ürün sayısını doğrudan 4 veya 3 almak.
- Doğru: 3 sıra ve her sırada 4 ürün olduğu için 3 \times 4 = 12 sayısını çarpan olarak eklemek.
- Neden yanlış: Kolinin içindeki toplam ürün adedi sıra sayısı ile her sıradaki adet çarpılarak bulunur.
Benzer mantıkta faktöriyel sadeleştirme içeren bir alıştırma sorusu daha çözmek ister misin?
son kısıma neden 11 yazdık açıklarmısınız
Faktöriyel İfadelerinde Paydaya 11! Yazılmasının Nedeni
Faktöriyel tanımı gereği bir sayının faktöriyeli, 1’den o sayıya kadar olan tüm tam sayıların çarpımıdır. Elimizdeki çarpımda bulunmayan sayıları sadeleştirip yok etmek için paydaya 11! yazarız.
Adım Adım Açıklama
1. 15! İfadesinin Açılımına Bakalım:
15! = 15 \times 14 \times 13 \times 12 \times \underbrace{11 \times 10 \times 9 \times \dots \times 2 \times 1}_{11!}
Bu açılımı daha kısa şekilde şöyle yazabiliriz:
15! = 15 \times 14 \times 13 \times 12 \times 11!
2. Bizim İhtiyacımız Olan Çarpım:
Bizim problemimizde sadece şu kısım vardı:
15 \times 14 \times 13 \times 12
Gördüğün gibi 15! açılımında fazladan bir 11! (11 \times 10 \times \dots \times 1) çarpımı bulunmaktadır.
3. Fazlalığı Yok Etme (Sadeleştirme):
Bu fazlalıktan kurtulmak ve yalnızca 15 \times 14 \times 13 \times 12 sonucunu elde etmek için ifadeyi 11!'e böleriz:
\frac{15!}{11!} = \frac{15 \times 14 \times 13 \times 12 \times \cancel{11!}}{\cancel{11!}} = 15 \times 14 \times 13 \times 12
Genel Kural (Pratik Yol)
Ardışık olarak geriye doğru çarpılan bir seride:
- En büyük sayı paya faktöriyel olarak yazılır (15!).
- Çarpımda yer almayan ilk sayı ve sonrası ise paydaya faktöriyel olarak yazılır.
Çarpım 12’de bittiği için, çarpılmayan ilk sayı 11’dir. Bu yüzden paydaya 11! yazılır.
| İstenen Çarpım | En Büyük Sayı | Çarpılmayan İlk Sayı | Faktöriyel Karşılığı |
|---|---|---|---|
| 15 \times 14 \times 13 \times 12 | 15 | 11 | \dfrac{15!}{11!} |
| 10 \times 9 \times 8 | 10 | 7 | \dfrac{10!}{7!} |
| 20 \times 19 | 20 | 18 | \dfrac{20!}{18!} |
Faktöriyel sadeleştirmeleriyle ilgili aklına takılan başka bir nokta var mı, yoksa pratik yapmak için bir örnek daha çözelim mi?