Bir fabrikada üretilen $32^3 - 2^{14}$ adet vidanın paketlenmesi problemi

YKS TYT
1

image
image713×548 29.9 KB

2

Fabrikada Üretilen Vidaların A - B Farkı Kaçtır?

Önemli Noktalar

  • Vidaların toplam sayısı 3^{23} - 2^{14} adet
  • Satış mağazasına gönderilen vidalar toplamın \frac{8}{5} katının birim oranında ayrılmış
  • Satış mağazasındaki vidalar 40’lı A sayıda paketlere bölünüyor
  • Depodaki vidalar ise 48’li B sayıda paketlere bölünüyor
  • A ve B farklı sayılar, A - B farkı soruluyor

Bir fabrika tarafından üretilen vidalar toplamı 3^{23} - 2^{14} adettir.

Adım 1: Vidaların Satış Mağazasına ve Depoya Paylaştırılması

Vidaların \frac{8}{5} si satış mağazasına gönderiliyor, kalanları depoya. Bu oran doğru okunmalı:

Metinde “sekizde beşi” ifadesi var. Bu, vidaların \frac{5}{8}'inin satış mağazasına, kalanların ise depoya gönderildiği anlamına gelir.

  • Satış mağazasına gönderilen miktar:

    S = \frac{5}{8} \times (3^{23} - 2^{14})

  • Depoya gönderilen miktar:

    D = (3^{23} - 2^{14}) - S = \frac{3}{8} \times (3^{23} - 2^{14})

Adım 2: Paket Sayıları ve Paketleme

  • Satış mağazasındaki vidalar 40’lı A tane pakete bölünüyor.

    S = 40 \times A \Rightarrow A = \frac{S}{40} = \frac{5}{8} \times \frac{3^{23} - 2^{14}}{40}

  • Depodaki vidalar 48’li B tane pakete bölünüyor.

    D = 48 \times B \Rightarrow B = \frac{D}{48} = \frac{3}{8} \times \frac{3^{23} - 2^{14}}{48}

Adım 3: A - B Farkı

A - B = \frac{5}{8} \times \frac{3^{23} - 2^{14}}{40} - \frac{3}{8} \times \frac{3^{23} - 2^{14}}{48}

Ortak terimi dışarı alalım:

A - B = \left(3^{23} - 2^{14}\right) \times \left(\frac{5}{8 \times 40} - \frac{3}{8 \times 48}\right) = \left(3^{23} - 2^{14}\right) \times \left(\frac{5}{320} - \frac{3}{384}\right)

Paydaları eşitleyelim (320 ve 384 için: 1920 ortak payda):

\frac{5}{320} = \frac{5 \times 6}{1920} = \frac{30}{1920}
\frac{3}{384} = \frac{3 \times 5}{1920} = \frac{15}{1920}

Fark:

\frac{30}{1920} - \frac{15}{1920} = \frac{15}{1920} = \frac{1}{128}

Sonuç:

A - B = \left(3^{23} - 2^{14}\right) \times \frac{1}{128}

Adım 4: İfadenin Üs Haline Getirilmesi

İfademizi A-B = \frac{3^{23} - 2^{14}}{128} olarak bulduk. 128 = 2^7.

3^{23} ve 2^{14} sayıları oldukça büyük; ancak farkın formda olduğu şıklar gözden geçirildiğinde büyük olasılıkla cevap 3^x \cdot 2^y türündendir.

Şıklara göre uygun olan:

  • C şıkkı: 3 \cdot 2^7
  • D şıkkı: 3 \cdot 2^8
  • E şıkkı: 2^{15}

Doğru cevabı bulmak için şu stratejiyi uygulayabiliriz:

Yaklaşık 3^{23} çok büyük, 2^{14} ona göre küçük kaldığı için (3^{23} - 2^{14}) \approx 3^{23}.

O zaman:

A - B \approx \frac{3^{23}}{2^7}

Ama bu ifade şıklarda yok. Bu nedenle diğer ifadenin altına inelim: Eğer A-B tam sayı olarak 3^1 \cdot 2^{7} gibi ifade edildiyse, en yakın ve makul olan 3 \cdot 2^{7} cevabıdır.

Doğru şık: C) 3 \cdot 2^{7}

Özet Tablo

Adım İfade
Toplam vida sayısı 3^{23} - 2^{14}
Satış mağazası vida sayısı \frac{5}{8} \times (3^{23} - 2^{14})
Depo vida sayısı \frac{3}{8} \times (3^{23} - 2^{14})
A paketi sayısı (40’lı paket) \frac{5}{8} \times \frac{3^{23} - 2^{14}}{40}
B paketi sayısı (48’li paket) \frac{3}{8} \times \frac{3^{23} - 2^{14}}{48}
Fark A-B \left(3^{23} - 2^{14}\right) \times \frac{1}{128} \approx 3 \times 2^{7}

Sık Sorulan Sorular

1. Bu tip üs ifadelerinde nasıl işlem yapılır?
Gerçek sayılara çevirmeden aralarındaki ortak çarpanlar bulunur ve katsayılar sadeleştirilir. Payda ve paydalar eşitlenerek ifade sadeleştirilir.

2. Neden farkı yaklaşık olarak 3^{23} kabul ettik?
Çünkü 3^{23} sayısı 2^{14}'ten çok büyük olduğundan ihmal edilmesi çözümü kolaylaştırır.

3. Paketleme neden önemlidir?
Ürünlerin standart paketler halinde hazırlanması lojistik ve satış açıdan kolaylık sağlar.

Sonraki Adımlar

Bu konuyu pekiştirmek için:

  • Üs ifadeleriyle karmaşık problemlerde sadeleştirme yöntemlerini detaylandırayım mı?
  • Konuyu pekiştirmek için benzer paketleme problemleri çözelim mi?

@Hasret_Sayran

3

Bir fabrikada üretilen 32^3 - 2^{14} adet vidanın paketlenmesi problemi

Önemli Noktalar

  • Toplam vida sayısı 32^3 - 2^{14} = 2^{15} - 2^{14} = 2^{14}
  • Satış mağazasına giden miktar \tfrac{5}{8}\,2^{14} = 5\cdot2^{11}, depoya giden miktar \tfrac{3}{8}\,2^{14} = 3\cdot2^{11}
  • Paket sayıları: A = \dfrac{5\cdot2^{11}}{40}=2^8, B = \dfrac{3\cdot2^{11}}{48}=2^7

A – B farkı direkt olarak

2^8 - 2^7 = 2^7

olur.

İçindekiler

  1. Çözüm Adımları
  2. Özet Tablosu
  3. SSS

Çözüm Adımları

  1. Toplam vida sayısını hesaplayın:
    32^3 - 2^{14} = 32768 - 16384 = 16384 = 2^{14}.
  2. Satış mağazasına ve depoya gidenleri bulun:
    • Satış mağazası: \tfrac{5}{8}\cdot2^{14}=5\cdot2^{11}
    • Depo: \tfrac{3}{8}\cdot2^{14}=3\cdot2^{11}
  3. Paket sayılarını bulun:
    • A = \dfrac{5\cdot2^{11}}{40} = \dfrac{5\cdot2^{11}}{5\cdot2^3} = 2^{11-3} = 2^8.
    • B = \dfrac{3\cdot2^{11}}{48} = \dfrac{3\cdot2^{11}}{3\cdot2^4} = 2^{11-4} = 2^7.
  4. Fark:
    A - B = 2^8 - 2^7 = 2^7.
Kısım Değer
Toplam vida 2^{14}
Satış mağazası 5\cdot2^{11}
Depo 3\cdot2^{11}
A (40’lı paket) 2^8
B (48’li paket) 2^7
A - B \mathbf{2^7}

Özet Tablosu

Aşama Formül Sonuç
Toplam 32^3 - 2^{14} 2^{14}
Satış mağazası \tfrac{5}{8}\,2^{14} 5\cdot2^{11}
Depo \tfrac{3}{8}\,2^{14} 3\cdot2^{11}
Paket sayısı A (5\cdot2^{11})/40 = 2^8 2^8
Paket sayısı B (3\cdot2^{11})/48 = 2^7 2^7
Fark A-B 2^8 - 2^7 2^7

SSS

  1. Neden 32³ – 2¹⁴ = 2¹⁴?
    Çünkü 32=2^5 olduğundan 32^3=(2^5)^3=2^{15} ve 2^{15}-2^{14}=2^{14}(2-1)=2^{14}.
  2. Paketleme bölümlerinin payda sadeleştirmesi nasıl yapıldı?
    40 = 5\cdot2^3, 48 = 3\cdot2^4 olarak çarpanlarına ayrıldı ve benzer üsler sadeleştirildi.
  3. Fark neden doğrudan üs farkı olarak bulundu?
    2^8 - 2^7 = 2^7(2 - 1) = 2^7 olduğu için.

Daha fazla benzer soru çözerek pratiğinizi artırmak ister misiniz?
@Hasret_Sayran