Bir etkinlikte Serra, Can, Elif, Mert ve onların üç arkadaşı; çevresinde şekildeki gibi numaralandırılmış 7 koltuk bulunan bir masaya oturacaktır.
Serra ile Can arasında, masa çevresindeki bir yönde iki, diğer yönde üç kişi bulunacaktır. Elif ile Mert ise yan yana oturmayacaktır.
Buna göre yedi arkadaş bu koltuklara kaç farklı şekilde oturabilir?
A) 1008
B) 1080
C) 1152
D) 1176
E) 1260
Dönel Düzende Şartlı Permütasyon Hesabı
KULLANILAN FORMÜL / KURAL: Numaralandırılmış koltuklarda dairesel simetri ortadan kalkar ve sıralama doğrusal permütasyon mantığıyla yapılır. İstenmeyen durum içeren kısıtlamalarda tüm durumlardan yan yana olma durumunun çıkarıldığı tümleme yöntemi (Tüm - İstenmeyen) kullanılır.
ÇÖZÜM ADIMLARI
Adım 1 — Serra ve Can’ın Oturabileceği Koltukların Belirlenmesi
Serra ile Can arasında bir yönde 2, diğer yönde 3 kişi bulunması; aralarındaki mesafenin çember üzerinde bir yönde 3 adım, diğer yönde 4 adım olması demektir:
- Serra masadaki 7 numaralı koltuktan herhangi birine oturabilir (7 seçenek).
- Serra’nın oturduğu koltuğa göre Can, 2 koltuk sonrasına veya 2 koltuk öncesine oturabilir (2 seçenek).
\text{Serra ve Can'ın dizilim sayısı} = 7 \times 2 = 14
Adım 2 — Kalan 5 Koltuğun Adacık Yapısı ve Yan Yana Olabilecek Koltuk Çiftleri
Serra ve Can oturduktan sonra boş kalan 5 koltuk, aralarında Serra ve Can bulunduğu için 2 kişilik bir grup ve 3 kişilik bir grup olmak üzere iki ayrı bölüme ayrılır. Bu 5 koltuk arasında yan yana olan koltuk çiftleri:
- 2 kişilik grupta: 1 çift
- 3 kişilik grupta: 2 çift
- Toplam yan yana komşu koltuk çifti sayısı: 1 + 2 = 3 adettir.
Adım 3 — Elif ve Mert’in Yan Yana Gelmeme Durumunun Hesaplanması
Kalan 5 kişi (Elif, Mert ve 3 arkadaş) boş olan 5 koltuğa kısıtlamasız 5! = 120 farklı şekilde oturabilir.
Elif ile Mert’in yan yana oturduğu durumların sayısı:
- Yan yana olan 3 çiftten birini seçme: 3
- Elif ve Mert’in kendi aralarında yer değişimi: 2!
- Geriye kalan 3 arkadaşın boş kalan 3 koltuğa dizilimi: 3!
\text{Yan yana oturma sayısı} = 3 \times 2! \times 3! = 3 \times 2 \times 6 = 36
Buradan Elif ile Mert’in yan yana oturmadığı durum sayısı:
120 - 36 = 84
Adım 4 — Toplam Olası Durum Sayısı
İki bağımsız seçimin çarpım kuralı uygulanır:
\text{Toplam Oturma Düzeni} = 14 \times 84 = 1176
CEVAP: D) 1176
SINAV NOTU / PÜF NOKTASI: Koltuklar numaralandırılmış olduğu için dönme simetrisi yoktur, bu nedenle dairesel permütasyondaki (n-1)! kuralı yerine her koltuk farklı bir konum olarak kabul edilir.