Bir elektrik dipol şekildeki gibi 2a uzaklıgı ile ayrıimış bulunan eşit ve zit işaretli iki yükten oluşur

Üniversite
1

Soru:
S.2. Bir elektrik dipol şekildeki gibi 2a uzaklıgı ile ayrıimış bulunan eşit ve zit işaretli iki yükten oluşur. Dipol
x-ekseni boyunca uzanmakta ve dipolün merkezi eksenlerin kesim noktasındadı.,
a) P noktastndaki elektriksel potansiyeli hesaplayınız?
b) Dipolden çok uzakta bir noktada V Potansiyelini ve Ex elektrik alaninı hesaplayıniz1

Soru Fotoğrafı:
!Soru Görseli [Link Silindi]

2

Bir elektrik dipol şekildeki gibi 2a uzaklığı ile ayrılmış bulunan eşit ve zıt işaretli iki yükten oluşur. Dipol x-ekseni boyunca uzanmakta ve dipolün merkezi eksenlerin kesim noktasındadır.

a) P noktasındaki elektriksel potansiyeli hesaplayınız?
b) Dipolden çok uzakta bir noktada V potansiyelini ve Ex elektrik alanını hesaplayınız.

:light_bulb: KULLANILAN KURAL / FORMÜL:

  • Elektrik potansiyeli, noktasal yük için:
    V = \frac{kq}{r}
  • Dipol momenti:
    p = q \times 2a
  • Dipolün çok uzaktan potansiyeli:
    V = \frac{k p \cos\theta}{r^2}
  • Dipol elektrik alanının x yönündeki bileşeni (uzaktan):
    E_x = \frac{2 k p}{r^3}

:brain: ÇÖZÜM ADIMLARI:

Adım 1 — P noktasındaki elektriksel potansiyeli hesapla

  • P noktası, dipolün sağındaki x mesafesinde bulunuyor.
  • Pozitif yükün konumu: x = +a , negatif yükün konumu: x = -a .
  • P noktasına olan mesafeler:
    Pozitif yüke uzaklık: r_+ = x - a
    Negatif yüke uzaklık: r_- = x + a
  • Toplam potansiyel:
    V = k \left(\frac{q}{r_+} - \frac{q}{r_-}\right) = kq \left(\frac{1}{x - a} - \frac{1}{x + a}\right)
  • Payda eşitleyerek:
    V = kq \frac{(x + a) - (x - a)}{(x - a)(x + a)} = kq \frac{2a}{x^2 - a^2}

Adım 2 — Dipolden çok uzakta potansiyel V ve elektrik alan E_x hesapla

  • Çok uzakta x \gg a olduğundan x^2 - a^2 \approx x^2 .
  • Bu durumda potansiyel:
    V \approx kq \frac{2a}{x^2} = \frac{k p}{x^2}
    Burada p = 2aq dipol momenti.
  • Elektrik alanın x bileşeni, potansiyelin x türevi ile bulunur:
    E_x = -\frac{dV}{dx} = -\frac{d}{dx} \left(\frac{k p}{x^2}\right) = 2 k p \frac{1}{x^3}

:white_check_mark: CEVAP:
a)

V = kq \frac{2a}{x^2 - a^2}

b)

V \approx \frac{k p}{x^2}, \quad E_x = \frac{2 k p}{x^3}

Başka soruların olursa sormaktan çekinme! :rocket:

3

Bir elektrik dipol şekildeki gibi 2a uzaklığı ile ayrılmış bulunan eşit ve zıt işaretli iki yükten oluşur. Dipol x-ekseni boyunca uzanmakta ve dipolün merkezi eksenlerin kesim noktasındadır. a) P noktasındaki elektriksel potansiyeli hesaplayınız? b) Dipolden çok uzakta bir noktada V Potansiyelini ve Ex elektrik alanını hesaplayınız?

KULLANILAN KURAL / FORMÜL:
Coulomb potansiyeli: V=\dfrac{kq}{r}
Dipol momenti: \displaystyle p=q\cdot 2a
Elektrik alan ile potansiyel ilişkisi: E_x=-\dfrac{dV}{dx}

ÇÖZÜM ADIMLARI:

Adım 1 — P noktasındaki toplam potansiyelin kurulması

P noktasının x-koordinatını x ( x>a ) kabul edelim. Toplam potansiyel iki yükün potansiyelleri toplamıdır.

Birinci terim: +q yükünün potansiyeli (sağdaki yük, konum x=+a)

V_{+}=k\,\dfrac{q}{x-a}

İkinci terim: -q yükünün potansiyeli (soldaki yük, konum x=-a)

V_{-}=k\,\dfrac{-q}{x+a}

Toplam:

V=V_{+}+V_{-}
V=kq\left(\dfrac{1}{x-a}-\dfrac{1}{x+a}\right)
V=kq\cdot\dfrac{(x+a)-(x-a)}{(x-a)(x+a)}
V=kq\cdot\dfrac{2a}{x^{2}-a^{2}}
V=\dfrac{2kqa}{x^{2}-a^{2}}

Adım 2 — Dipolden çok uzakta ( x\gg a ) potansiyel yakınsaması

Çok uzakta x^{2}-a^{2}\approx x^{2} alınır.

V\approx \dfrac{2kqa}{x^{2}}

Dipol momenti kullanılarak:

p=2aq
V\approx \dfrac{kp}{x^{2}}

Adım 3 — Çok uzakta E_{x} hesaplanması (yaklaşım ile)

İlişki:

E_{x}=-\dfrac{dV}{dx}

Burada yaklaşık V\approx kp\,x^{-2}.

\dfrac{dV}{dx}=\dfrac{d}{dx}\bigl(kp\,x^{-2}\bigr)
\dfrac{dV}{dx}=kp\cdot(-2)\,x^{-3}
\dfrac{dV}{dx}=-2kp\,x^{-3}
E_{x}=-\dfrac{dV}{dx}
E_{x}=-\bigl(-2kp\,x^{-3}\bigr)
E_{x}=2kp\,x^{-3}

p yerine 2aq yazarsak:

E_{x}=2k(2aq)\,x^{-3}
E_{x}=\dfrac{4kqa}{x^{3}}

(Alternatif: Tam ifadeden türev alırsanız exact olarak E_{x}=\dfrac{4kqax}{(x^{2}-a^{2})^{2}} elde edilir; bu ifade x\gg a için yukarıdaki yaklaşık ifadeyle uyumludur.)

━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
:white_check_mark: CEVAP:
a) \displaystyle V(P)=\dfrac{2kqa}{x^{2}-a^{2}}

b) Çok uzakta (x\gg a)
\displaystyle V\approx \dfrac{2kqa}{x^{2}}=\dfrac{kp}{x^{2}} ve
\displaystyle E_{x}\approx \dfrac{4kqa}{x^{3}}=\dfrac{2kp}{x^{3}}
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━

TEMEL KAVRAMLAR:

  1. Coulomb potansiyeli
  • Tanım: Nokta yükün yarattığı potansiyel V=kq/r.
  • Bu problemde: Her yükün potansiyeli toplanarak toplam potansiyel bulunur.
  1. Dipol momenti ( \mathbf{p} )
  • Tanım: İki zıt yükün büyüklüğü çarpı aralarındaki mesafenin yönlü ölçüsü; burada p=2aq.
  • Bu problemde: Uzak alan ifadeleri dipol momenti ile sadeleşir.

SIK YAPILAN HATALAR:

:cross_mark: İşaret hatası

  • Yanlış: Negatif yüke ait potansiyeli pozitif alıp çıkarma yapmamak.
  • Doğru: -q için potansiyel k(-q)/r olmalıdır.
  • Neden yanlış: İşaretleri göz ardı etmek toplam ifadeyi değiştirir.
  • Düzeltme: Her terimin işaretini baştan kontrol edin.

:cross_mark: Uzak alan yakınsamasında a^2’yi ihmal etme koşulu

  • Yanlış: Her x için x^2-a^2\approx x^2 yapmak.
  • Doğru: Bu yaklaşım yalnızca x\gg a durumunda geçerlidir.
  • Neden yanlış: Küçük mesafelerde hata büyük olur.
  • Düzeltme: Yaklaşımın geçerlilik koşulunu ( x\gg a ) belirtin.

Başka soruların olursa sormaktan çekinme! :rocket:
Bu konuyla ilgili başka bir örnek ister misin?