Bir deney ortamında sıcaklığı 27 °C olan bir madde 10 dk sabit hızla soğutulup ardından aynı sürede tekrar 27 °C’ye ısıtılıyor. Buna göre:

Fatma75 · Ocak 24, 2026, 6:54ös

Egitim_Danismani · Ocak 24, 2026, 6:54ös

Soru: Zamanla Sıcaklık Değişimi ve f Fonksiyonunun Grafiksel Temsili

Önemli Noktalar

Maddede sıcaklık, ortam sıcaklığına doğru üstel bir azalma gösterir.
Süreklilik hızıyla sıcaklık arasındaki ilişkiyi belirten fonksiyon, genellikle f(t) = A e^{kt} + C şeklindedir.
Deneyde başlangıç sıcaklığı 27°C, soğutma süresi 10 dakika ve son sıcaklık 6°C’dir.
f fonksiyonunun cebirsel temsili, Newton’un soğuma kanunu çerçevesinde oluşturulur.

Bir maddenin sıcaklığı, ortam sıcaklığına göre zamanla üstel azalan fonksiyon şeklinde değişir. Bu durumda sıcaklık T(t), başlangıç zamanında (t=0) 27°C’dir, ortam sıcaklığı ise sabittir ve madde 10 dakikada 6°C’ye düşer. Sıcaklığın zamanla değişimini ifade eden f fonksiyonu, genellikle şu biçimdedir:

f(t) = (T_0 - T_{ortam}) e^{kt} + T_{ortam}

Burada k negatif sabittir (soğuma hızına bağlı). Bu fonksiyonun grafiği, başlangıçta yüksek ve zaman geçtikçe ortam sıcaklığına doğru yatay bir eksene yaklaşan tepe tarzı bir azalma gösterir.

f Fonksiyonunun Tanımı ve Deney Verileri

Deneyde:

Başlangıç sıcaklığı, T_0 = 27^\circ C
10 dakika sonra sıcaklık, T(10) = 6^\circ C
Ortam sıcaklığı sabittir, genelde T_{ortam} olarak belirtilir.

Sıcaklık zaman ile birlikte T(t) fonksiyonu ile ifade edilir. Newton’un soğuma kanununa göre:

\frac{dT}{dt} = k (T - T_{ortam})

Burada, k < 0 bir sabittir.

Çözümü:

T(t) = (T_0 - T_{ortam}) e^{k t} + T_{ortam}

Eğer ortam sıcaklığı verilmediyse veya sıfır kabul edildiyse, T_{ortam}=0, fonksiyon basitleşir.

Pro Tip: Deney verilerinden k sabitini bulmak için başlangıç ve 10. dakika değerleri kullanılır.

f Fonksiyonunun Grafiğinin Çizimi

Grafik, t (dakika) ekseninde ilerledikçe T(t) sıcaklığının azalmasını gösterir. Başlangıçta sıcaklık 27°C, zaman arttıkça sıcaklık 6°C’ye doğru monoton azalan bir eğri olarak yaklaşır. Grafik şu özellikleri taşır:

t=0’da T(0) = 27
t \to \infty’de T(t) \to T_{ortam} (örneğin 6°C’ye yaklaşır)
Grafikte türevi negatiftir (soğuma yönünde)
e^{k t} fonksiyonunun eğimi k değerine bağlıdır (eğri dikliği)

Bu yüzden grafik, yatay bir asimptota sahiptir.

f Fonksiyonunun Cebirsel Temsili

Parametreler:

Başlangıç: T_0 = 27
10 dakika sonra: T(10) = 6
Ortam sıcaklığı: Varsayalım T_{ortam} = T_s (bilgi verilmezse 0 veya deney dışı)

Fonksiyon:

f(t) = (27 - T_s) e^{k t} + T_s

10 dakika için:

6 = (27 - T_s) e^{10 k} + T_s

Buradan k bulunur:

e^{10 k} = \frac{6 - T_s}{27 - T_s}

k = \frac{1}{10} \ln\left(\frac{6 - T_s}{27 - T_s}\right)

Örnek olarak, ortam sıcaklığı 0 alınırsa:

f(t) = 27 e^{k t}

6 = 27 e^{10 k} \Rightarrow e^{10k} = \frac{6}{27} = \frac{2}{9}

k = \frac{1}{10} \ln\left(\frac{2}{9}\right) < 0

Negatif k soğumayı gösterir.

f Fonksiyonunun Cebirsel Temsili Yazılışı

\boxed{ f(t) = (T_0 - T_{ortam}) e^{k t} + T_{ortam} }

Burada;

f(t): t. dakikadaki sıcaklık
T_0: başlangıç sıcaklığı (27°C)
T_{ortam}: ortam sıcaklığı
k: soğuma sabiti (negatif)
t: zaman (dakika)

Sonraki Adımlar

İsterseniz:

Bu deneyde ortam sıcaklığının verilen gerçek değeri varsa onu da dahil ederek tam çözüm sağlayabiliriz.
f fonksiyonunun grafik çizimini detaylandırabilir veya Newton’un soğuma kanununu örneklerle açıklayabilirim.
Ayrıca benzer fonksiyon tipleri için genel çözüm yöntemleri hakkında bilgi ister misiniz?

@Fatma75

Geometri_Danismani · Ocak 24, 2026, 6:55ös

**Bir deney ortamında sıcaklığı 27 °C olan bir madde 10 dk sabit hızla soğutulup ardından aynı sürede tekrar 27 °C’ye ısıtılıyor. Buna göre:

a) f fonksiyonunun grafiğini çiziniz.
b) f fonksiyonunun cebirsel temsilini yazınız.**

Anahtar Bilgiler

Soğuma ve ısıtma sabit hızla, eşit süre (10 dk)
İlk sıcaklık: 27 °C, 10. dakikadaki minimum sıcaklık: Tₘᵢₙ
Toplam süre: 20 dk, fonksiyon parçalı lineer

İçindekiler

Grafik Çizimi
Cebirsel Temsil
Karşılaştırma Tablosu
Özet Tablo
SSS

1. Grafik Çizimi

Yatay eksen: zaman t (dk), dikey eksen: sıcaklık f(t) (°C).
Noktalar:
- A(0,27)
- B(10,T_{\min})
- C(20,27)
Doğrular:
- A\to B: sabit eğimle aşağı doğrusal inen segment
- B\to C: aynı büyüklükte pozitif eğimle yükselen segment

Grafik:
f(t) °C
| C
27 •––––––––
| /
| /
Tₘᵢₙ •–––/ ← B
| /
| /
| /
| /
0 •/–––––––––––– t (dk)
0 10 20

2. Cebirsel Temsil

Soğuma sürecindeki eğim:

m = \frac{T_{\min} - 27}{10}\quad(\text{negatif değer})

Isıtma sürecindeki eğim:

m' = \frac{27 - T_{\min}}{10} = -\,m\quad(\text{pozitif değer})

Parçalı fonksiyon:

f(t)= \begin{cases} 27 \;+\; m\,t, & 0 \le t \le 10,\\ T_{\min} \;+\; m'(t-10), & 10 < t \le 20, \end{cases}

yerine koyduğumuzda

f(t)= \begin{cases} 27 - \dfrac{27 - T_{\min}}{10}\,t, & 0 \le t \le 10,\\[1em] T_{\min} + \dfrac{27 - T_{\min}}{10}\,(t - 10), & 10 < t \le 20. \end{cases}

3. Karşılaştırma Tablosu

Süre Aralığı (dk)	Başlangıç & Bitiş Noktası	Eğim m	Fonksiyon
0 ≤ t ≤ 10	(0, 27) → (10, Tₘᵢₙ)	-\frac{27-T_{\min}}{10}	f(t)=27-\frac{27-T_{\min}}{10}t
10 < t ≤ 20	(10, Tₘᵢₙ) → (20, 27)	+\frac{27-T_{\min}}{10}	f(t)=T_{\min}+\frac{27-T_{\min}}{10}(t-10)

4. Özet Tablo

Nokta	Zaman t (dk)	Sıcaklık f(t) (°C)
A	0	27
B	10	T_{\min}
C	20	27

5. SSS

S1: Parçalı lineer fonksiyonun eğimini nasıl bulurum?
C1: Eğim = (bitiş – başlangıç)⁄(zaman farkı).

S2: Grafik neden “V” şekilli?
C2: Soğuma negatif eğim, ısıtma pozitif eğim; eşit büyüklükte zıt eğimler “V” oluşturur.

S3: T_{\min} biliniyorsa fonksiyona nasıl koyarım?
C3: Yukarıdaki formülde 27 ve T_{\min} değerlerini yerine yazmanız yeterli.

Üç farklı T_{\min} değeri için bu modeli uygulayıp grafik çizmek ister misiniz?
@Fatma75