Bir cisim hava sürtünmesinin önemsenmediği ortamda yerden h kadar yükseklikten düşey aşağı doğru V₀ hızıyla atılıyor

Question Answer
1

Bir cisim hava sürtünmesinin önemsenmediği ortamda yerden h kadar yükseklikten düşey aşağı doğru V_{0} hızıyla atılıyor.
Cisim yere 40 m/s hızla çarptığına göre h yüksekliği aşağıdakilerden hangisi olabilir?
A) 125
B) 100
C) 90
D) 80
E) 10

Bir cisim hava sürtünmesinin önemsenmediği ortamda yerden h kadar yükseklikten düşey...
Bir cisim hava sürtünmesinin önemsenmediği ortamda yerden h kadar yükseklikten düşey...1024×493 106 KB

2

Düşey Atış Hareketinde Yükseklik Analizi

:light_bulb: KULLANILAN FORMÜL / KURAL:
Zamansız hız formülü:

V^2 = V_0^2 + 2gh

(Burada g = 10\text{ m/s}^2 yer çekimi ivmesidir.)

:brain: ÇÖZÜM ADIMLARI:

Adım 1 — Zamansız Hız Denklemini Kurma
Cisim h yüksekliğinden V_0 ilk hızıyla düşey aşağı atılmış ve yere V = 40\text{ m/s} hızla çarpmıştır.

40^2 = V_0^2 + 2 \cdot 10 \cdot h
1600 = V_0^2 + 20h

Adım 2 — Yükseklik (h) için Sınır Değerini Belirleme
Eşitlikten h çekildiğinde:

20h = 1600 - V_0^2 \implies h = 80 - \frac{V_0^2}{20}

Cismin aşağı doğru bir V_0 hızıyla atıldığı belirtildiğinden ilk hız sıfırdan büyüktür (V_0 > 0):

  • Eğer cisim serbest bırakılsaydı (V_0 = 0), düşeceği maksimum yükseklik h = 80\text{ m} olurdu.
  • Ancak V_0 > 0 olduğu için \frac{V_0^2}{20} > 0 olur ve bu durumda h yüksekliğinin kesinlikle 80\text{ m}'den küçük olması gerekir:
0 < h < 80\text{ m}

Adım 3 — Seçeneklerin Değerlendirilmesi

  • A) 125: h < 80\text{ m} şartını sağlamaz.
  • B) 100: h < 80\text{ m} şartını sağlamaz.
  • C) 90: h < 80\text{ m} şartını sağlamaz.
  • D) 80: V_0 = 0 (serbest düşme) durumudur; cisim bir V_0 hızıyla atıldığı için olamaz.
  • E) 10: 10 < 80 olduğu için (V_0 = \sqrt{1400}\text{ m/s}) fiziksel olarak mümkündür.

━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
:white_check_mark: CEVAP: E — 10
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━

:bullseye: TEMEL KAVRAMLAR:

  • Düşey Atış Hareketi: Serbest düşmeden farklı olarak ilk hızın (V_0 \neq 0) bulunduğu ivmeli harekettir. İlk hız var olduğu sürece aynı son hıza ulaşmak için gereken yükseklik serbest düşmeye göre daha azdır.

:warning: SIK YAPILAN HATALAR:

  • :cross_mark: Hatalı Yaklaşım: Cismin serbest düşme yaptığını varsayarak h = \frac{V^2}{2g} = 80\text{ m} bulup doğrudan D seçeneğini işaretlemek.
  • :white_check_mark: Doğru Yaklaşım: Cismin aşağı doğru atıldığı (V_0 > 0) gerçeğini dikkate alarak h < 80\text{ m} eşitsizliğini kurmak.

Bu soru tipinde cisim yukarı doğru atılsaydı h yüksekliğinin alabileceği değer aralığı nasıl değişirdi, birlikte incelemek ister misin?

3

@Akademik_Rehber neden 80den küçğk oldu h

4

h Yüksekliğinin Neden 80\text{ m}'den Küçük Olması Gerektiğinin Mantığı

Bu durumu hem fiziksel sezgi (günlük mantık) hem de matematiksel eşitlik üzerinden iki yolla kavrayabiliriz:

1. Fiziksel Mantık (Hız Kazanımı Üzerinden)

  • Bir cismi serbest bıraktığını düşünelim (V_0 = 0):
    • Cisim yer çekimi ivmesiyle (g = 10\text{ m/s}^2) her saniye hızını 10\text{ m/s} artırır.
    • Hızının sıfırdan 40\text{ m/s}'ye çıkması için tam 4\text{ saniye} düşmesi gerekir (V = g \cdot t \implies 40 = 10 \cdot 4).
    • $4\text{ saniye}$de serbest düşen bir cisim:
      h = \frac{1}{2}gt^2 = 5 \cdot 4^2 = 80\text{ metre}
      yol alır.
  • Fakat soruda cisim serbest bırakılmıyor, aşağı doğru bir V_0 ilk hızıyla fırlatılıyor!
    • Cismin zaten başlangıçta bir hızı olduğu için, yere 40\text{ m/s} ile çarpana kadar yer çekiminden 40\text{ m/s}'lik hızın tamamını kazanmasına gerek kalmaz.
    • Daha az hız artışına ihtiyaç duyduğu için havada kalma süresi 4\text{ saniyeden daha kısa} olur.
    • Daha kısa sürede yere ulaştığı için de düşeceği yükseklik kesinlikle 80\text{ metreden az} olmak zorundadır.

2. Matematiksel İspat (Zamansız Hız Formülü Üzerinden)

Zamansız hız denklemimiz:

V^2 = V_0^2 + 2gh

Verilenleri yerine koyalım:

40^2 = V_0^2 + 2 \cdot 10 \cdot h
1600 = V_0^2 + 20h

Buradan h yüksekliğini yalnız bırakırsak:

20h = 1600 - V_0^2
h = \frac{1600}{20} - \frac{V_0^2}{20}
h = 80 - \frac{V_0^2}{20}
  • Cismin aşağı atıldığı belirtildiğine göre ilk hız bir değere sahiptir: V_0 > 0.
  • Dolayısıyla V_0^2 pozitif bir sayıdır ve \frac{V_0^2}{20} > 0 olur.
  • 80’den pozitif bir sayıyı çıkardığımızda geriye kalan değer daima 80’den küçük çıkar:
h < 80\text{ m}

Bu sebeple şıklardaki 125, 100, 90 ve 80 elenir; geriye yalnızca 80’den küçük tek seçenek olan 10\text{ m} kalır.

Peki, aynı cisim yere 40\text{ m/s} hızla çarpmak üzere aşağı doğru değil de yukarı doğru atılsaydı h yüksekliği 80\text{ m}'den büyük mü olurdu, küçük mü? Mantığını birlikte tartışalım mı?