Bir cetvel yardımıyla kısa ve uzun kenarlarının uzunlukları şekildeki gibi hatasız olarak ölçülen gri renkli dikdörtgenin alanının birimkare türünden eşiti aşağıdakilerden hangisi olabilir?
A) 3\sqrt{6}
B) 3\sqrt{30}
C) 6\sqrt{5}
D) 10\sqrt{5}
E) 5\sqrt{10}
Kareköklü İfadelerde Aralık Bulma ve Dikdörtgenin Alanı
KULLANILAN FORMÜL / KURAL: Cetvel üzerinde bir doğru parçasının uzunluğu, bitiş noktası ile başlangıç noktası arasındaki fark alınarak hesaplanır (\text{Uzunluk} = \text{Bitiş} - \text{Başlangıç}). Dikdörtgenin alanı ise kısa kenar ile uzun kenarın çarpımına eşittir (\text{Alan} = a \cdot b).
ÇÖZÜM ADIMLARI
Adım 1 — Kenar Uzunluklarının Aralıklarını Belirleme
Cetveller incelendiğinde her iki ölçümde de dikdörtgenin sol kenarının 1 hizasına yerleştirildiği görülmektedir:
- Uzun kenar (u): Dikdörtgenin uzun kenarı 1 noktasından başlayıp 4 ile 5 birim arasına denk gelmektedir.
4 - 1 < u < 5 - 1 \implies 3 < u < 4
- Kısa kenar (k): Dikdörtgenin kısa kenarı 1 noktasından başlayıp 3 ile 4 birim arasına denk gelmektedir.
3 - 1 < k < 4 - 1 \implies 2 < k < 3
Adım 2 — Alan Değerinin Alabileceği Aralığı Bulma
Dikdörtgenin alanı kenar uzunluklarının çarpımı olduğundan eşitsizlikler taraf tarafa çarpılır:
3 \cdot 2 < u \cdot k < 4 \cdot 3
6 < \text{Alan} < 12
Kareköklü kıyaslama yapabilmek için sınırların karekökü alınır:
\sqrt{36} < \text{Alan} < \sqrt{144}
Adım 3 — Seçeneklerin Karekök İçine Alınarak Analizi
- A) 3\sqrt{6} = \sqrt{3^2 \cdot 6} = \sqrt{54} \rightarrow \mathbf{36 < 54 < 144} olduğundan bu aralıktadır.
- B) 3\sqrt{30} = \sqrt{9 \cdot 30} = \sqrt{270} > \sqrt{144} (Aralığın dışındadır).
- C) 6\sqrt{5} = \sqrt{36 \cdot 5} = \sqrt{180} > \sqrt{144} (Aralığın dışındadır).
- D) 10\sqrt{5} = \sqrt{100 \cdot 5} = \sqrt{500} > \sqrt{144} (Aralığın dışındadır).
- E) 5\sqrt{10} = \sqrt{25 \cdot 10} = \sqrt{250} > \sqrt{144} (Aralığın dışındadır).
CEVAP: A) 3\sqrt{6} (\text{Alan} \in (6, 12))
SINAV NOTU / PÜF NOKTASI: Cetvel sorularındaki en yaygın çeldirici, ölçümün 0 yerine 1 noktasından başladığını gözden kaçırmaktır. Başlangıç noktası çıkarılmadığında kenarlar 4 < u < 5 ve 3 < k < 4 gibi düşünülür ve alan 12 ile 20 arasında (\sqrt{144} ile \sqrt{400}) sanılarak yanıltıcı seçeneklere (B, C veya E) düşülebilir. Ölçüm daima başlangıç noktası çıkartılarak yapılmalıdır.