!1767305604775632385622766471845|375x500 [Link Silindi]
EBOB - EKOK Problemleri Sorusu ve Çözümü
Önemli Noktalar
- Cadde uzunluğu tam sayı metre cinsindendir ve 0,5 km’den azdır.
- Her iki tarafında yolun başı ve sonunda ağaç olmak zorundadır.
- Ağaçlar eşit aralıklarla dikilmiştir.
- En fazla uzunluk için EBOB yöntemi kullanılarak en büyük uygun uzunluk bulunur.
Doğrudan Cevap
Cadde iki tarafına eşit aralıklarla ağaç dikildiğinde, aralığın her iki tarafta da bölünebilmesi gerekir. İlk görselde ağaçlar 10 m aralıkla, ikinci görselde 6 m aralıkla. En fazla uzunluk, 10 m ve 6 m’nin EBOB’u (En Büyük Ortak Bölen) olan 2 metre aralıkla ağaçların aynı hizaya geleceği durumdur.
Cadde uzunluğu, aralık sayısının (tam sayı) 2 metre çarpımıdır ve cadde uzunluğu 0,5 km’den az (500 m’den az) olmalıdır. En fazla uzunluk, 2 metre’nin katı olmak üzere 500 metreden küçük en büyük tam sayıdır, yani 480 metredir.
İçindekiler
1. Soru Analizi ve Veri
Bu problemde:
- Bir cadde var, her iki tarafında eşit aralıklarla ağaçlar dikiliyor.
- Yolun başı ve sonunda mutlaka ağaç var.
- Üstte 10 m, altta 6 m aralıklı görülen ağaç dizilimleri mevcut.
- Cadde uzunluğu tam metre cinsinden tam sayı ve 0,5 km’den az.
Amaç: Cadde uzunluğu en fazla kaç metre olabilir?
2. EBOB ve EKOK Kavramları
- EBOB (En Büyük Ortak Bölen): İki sayının ortak bölenleri içinde en büyüğüdür.
- EKOK (En Küçük Ortak Kat): İki sayının ortak katları içinde en küçüğüdür.
Ağaçlar eşit aralıklara göre dizileceği için, bu aralıkların her ikisini de tam bölen en büyük sayı (EBOB) aranır.
3. Uygulamalı Çözüm
- Yukarıdaki ağaç dizilimlerine göre aralıklar: 10 m ve 6 m.
- Bu iki sayının EBOB’u:
EBOB(10,6) = 2
- Cadde uzunluğu (L), 2’nin katı olan en büyük sayı ve (L < 500 m).
- 500 m’den küçük en büyük 2’nin katı:
L = 2 \times 240 = 480 \text{ metre}
Bu yüzden, cadde en fazla 480 metre olabilir.
4. Özet Tablo
| Aralık 1 | Aralık 2 | EBOB | EKOK | Cadde Uzunluğu (max, < 500 m) |
|---|---|---|---|---|
| 10 m | 6 m | 2 | 30 | 480 m |
5. SSS
EBOB nedir?
İki veya daha fazla sayının en büyük ortak bölenidir.
EKOK nedir?
İki veya daha fazla sayının en küçük ortak katıdır.
Bu problem neden EBOB ile çözülür?
Ağaç aralıkları aynı hizaya gelmeli, bu yüzden hem 10 hem 6’yı tam bölen en büyük mesafe bulunur.
Neden cadde uzunluğu EBOB’un katıdır?
Ağaçlar caddenin başı ve sonunda olacak şekilde eşit aralıklarla dizildiği için.
Caddenin uzunluğunu bulmak için başka ağaç aralıkları olsa nasıl hesaplama yapılır? Yardımcı olmamı ister misiniz?
Bir caddenin her iki yanına eşit aralıklarla ağaç dikilmesi problemi
Önemli Noktalar
- Caddenin uzunluğu, hem $10,$m hem de $6,$m’lik aralıklara tam bölünebilmelidir.
- Bu koşul, 10 ve 6 sayılarının en küçük ortak katı (EKOK) kavramını gerektirir.
- $0{,}5,$km’den ($500,$m’den) küçük en büyük EKOK katı $480,$m’dir.
Sonuç
Caddenin uzunluğu, $6,$m ve $10,$m aralıklarla dikim yapılabilmesi için bu sayıların EKOK’u olan $30,$m’nin katları şeklindedir. $500,$m’den küçük en büyük katı ise $480,$m’dir.
İçindekiler
Derinlemesine Açıklama
Caddenin başında ve sonunda birer ağaç olacak şekilde ağaçlar arası mesafenin eşit olması, toplam uzunluğun bu mesafeye tam bölünebilmesini gerektirir.
- Eğer ağaçlar $10,$m aralıkla dikilmişse, cadde uzunluğu $10$’un tam katı olmalıdır.
- Eğer diğer tarafta $6,$m aralık varsa, cadde uzunluğu $6$’nın da tam katı olmalıdır.
- Her iki koşulu birden sağlamak için uzunluğun 6 ile $10$’un EKOK’u olan
EKOK(6,10)=30
metrenin katı olması gerekir.
- Aranan en büyük değer $500,$m’den küçük olmalıdır. 30k<500\Rightarrow k\le16, dolayısıyla k=16 için
30\cdot16=480\ \text{m}
elde edilir.
Karşılaştırma Tablosu
| Özellik | EBOB | EKOK |
|---|---|---|
| Açılım | En Büyük Ortak Bölen | En Küçük Ortak Kat |
| Tanım | İki veya daha fazla sayının | İki veya daha fazla sayının |
| ortak bölenlerinin en büyüğü | ortak katlarının en küçüğü | |
| Hesaplama | Öklid algoritması ile bulunur | Çarpımların bölünmesiyle |
| Örnek (6,10) | EBOB(6,10)=2 | EKOK(6,10)=30 |
| Kullanım Alanı | Bölünebilme sorularında | Aralıklı dikim, eş zamanlı |
| en son adım | periyot ayarlamalarında |
Özet Tablosu
| Aralıklar | EKOK(6,10) | $500,$m altındaki en büyük kat |
|---|---|---|
| 6 m ve 10 m | 30 m | 480 m |
SSS
S1: Neden ağaçlar hem başta hem sonda olmalı?
C1: Başta ve sonda ağaç olması, toplam uzunluğun aralık sayısına tam bölünebilmesini sağlar.
S2: EKOK neden kullanıyoruz, EBOB yeterli değil mi?
C2: EBOB, ortak bölenlerle ilgilidir; aralık sayısı için en küçük ortak kat (EKOK) gereklidir.
S3: 0,5 km sınırı nasıl etkiliyor?
C3: Bulunan EKOK katlarının 500 m’den küçük en büyüğü seçilir.
S4: Farklı aralıklar verilse formül değişir mi?
C4: Hayır, benzer şekilde yeni aralıkların EKOK’unu bulup 500 m altındaki en büyük katı alırsınız.
Bu yöntemi kullanarak 7 m ve 9 m aralıklarla dikim yapılan bir caddenin uzunluğunu bulmak ister misiniz? @Nurcan14