in iç
daki
Aşağıdaki şekilde bír cadde űzerinde siralanan evler
gösterilmiştir. Bu evilerin kapı numaralari soldan sağa
doğru ardışık çift sayılarla artmaktadır.
ba6
ba6 doğal sayısı, en sağdaki evin kapı numarası ise üç
basamaklı ab4 doğal sayısıdır. lk ve son ev arasinda
da 43 ev bulunmaktadır.
Buna göre bu cadde üzerinde bulunan ortadaki
olabilir?
A) 335
B) 390
C) 395
D) 410
E) 430
e
Bir cadde üzerinde sıralanan evlerin kapı numaraları problemi
KULLANILAN FORMÜL: Ardışık çift sayılar aralarındaki fark 2 olacak şekilde artar. n tane ev varsa, ilk ev ile son ev arasında n-1 tane artış adımı vardır. Son ev = İlk ev + (n-1) \times 2.
ÇÖZÜM ADIMLARI:
Adım 1 — Toplam ev sayısının ve terim sayısının belirlenmesi
Soru metninde en soldaki ilk ev ile en sağdaki son ev arasında 43 ev bulunduğu belirtilmiştir.
Buna göre, ilk ev ve son ev dahil olmak üzere caddedeki toplam ev sayısı:
\text{Toplam Ev Sayısı} = 43 + 2 = 45
Adım 2 — Kapı numaraları arasındaki toplam farkın hesaplanması
Evlerin kapı numaraları soldan sağa doğru ardışık çift sayılarla arttığına göre, her iki ev arasındaki fark 2’dir. 45 tane ev olduğuna göre, ilk ev ile son ev arasında 45 - 1 = 44 tane artış aralığı vardır.
Toplam artış miktarı:
44 \times 2 = 88
Adım 3 — İlk ve son ev numaraları arasındaki denklemin kurulması
- En soldaki evin kapı numarası: ba6 (üç basamaklı doğal sayı)
- En sağdaki evin kapı numarası: ab4 (üç basamaklı doğal sayı)
Bu iki sayı arasındaki ilişkiyi denklem olarak yazarsak:
ab4 - ba6 = 88
Adım 4 — Basamak çözümlemesi yapılarak a ve b değerlerinin bulunması
Sayıları basamaklarına göre çözümleyelim:
- ab4 = 100a + 10b + 4
- ba6 = 100b + 10a + 6
Verilen çıkarma işleminde yerine koyalım:
(100a + 10b + 4) - (100b + 10a + 6) = 88
90a - 90b - 2 = 88
90a - 90b = 90
90(a - b) = 90
a - b = 1
a ve b birer rakam olduğundan (a, b \in \{0, 1, 2, ..., 9\} ve ba6 ile ab4 üç basamaklı olduğundan a \neq 0, b \neq 0), a - b = 1 şartını sağlayan olası (a, b) ikilileri şunlardır:
- b = 1 \implies a = 2
- b = 2 \implies a = 3
- b = 3 \implies a = 4
- b = 4 \implies a = 5
- b = 5 \implies a = 6
- b = 6 \implies a = 7
- b = 7 \implies a = 8
- b = 8 \implies a = 9
Adım 5 — Ortadaki evin kapı numarasının hesaplanması
Toplam ev sayısı 45 (tek sayı) olduğu için tam ortadaki ev \frac{45 + 1}{2} = 23. evdir.
Ortadaki evin kapı numarasını bulmak için ilk evin numarasından ortadaki eve kadar olan artış miktarını ekleriz. 23. ev ile 1. ev arasında 23 - 1 = 22 adım vardır.
\text{Ortadaki Ev} = ba6 + 22 \times 2 = ba6 + 44
Alternatif olarak, ilk ve son evin ortalaması da ortadaki evin numarasını verir:
\text{Ortadaki Ev} = \frac{ba6 + ab4}{2}
Bulduğumuz a - b = 1 bağıntısını kullanarak olası ba6 ve ab4 sayı çiftlerini test edelim:
-
Eğer b = 1, a = 2 ise:
- İlk ev (ba6) = 126
- Son ev (ab4) = 214
- Ortadaki ev = \frac{126 + 214}{2} = \frac{340}{2} = 170
-
Eğer b = 2, a = 3 ise:
- İlk ev (ba6) = 236
- Son ev (ab4) = 324
- Ortadaki ev = \frac{236 + 324}{2} = \frac{560}{2} = 280
-
Eğer b = 3, a = 4 ise:
- İlk ev (ba6) = 336
- Son ev (ab4) = 424
- Ortadaki ev = \frac{336 + 424}{2} = \frac{760}{2} = 380
-
Eğer b = 4, a = 5 ise:
- İlk ev (ba6) = 436
- Son ev (ab4) = 524
- Ortadaki ev = \frac{436 + 524}{2} = \frac{960}{2} = 480
Verilen şıkları incelediğimizde, hesapladığımız değerlere uygun olan seçeneği bulmak için seçeneklerdeki değerlerin ortadaki ev olma durumunu kontrol edelim.
Soru “ortadaki evin kapı numarası aşağıdakilerden hangisi olabilir?” şeklinde sorulmuştur.
Ortadaki evin kapı numarası 170 + 110k formülüyle artmaktadır (170, 280, 390, 500, \dots).
Bulduğumuz sonuçlardan b=3, a=4 için ilk ev 336, son ev 424 olup aradaki fark 424 - 336 = 88 (44 \times 2) şartını tam olarak sağlar. Bu durumda ortadaki evin kapı numarası:
\text{Ortadaki Ev} = 336 + 22 \times 2 = 336 + 44 = 380
Ancak şıklarda 380 yerine farklı bir değer aranmalıdır. Kontrolü tekrar yaparsak:
Ortadaki ev formülü: \text{İlk Ev} + 44 = ba6 + 44
b=3, a=4 için 336 + 44 = 380 bulunuyor. Şıklara baktığımızda B seçeneğinde 390 yer almaktadır.
Hangi a, b ikilisi için ortadaki ev 390 olur?
\text{Ortadaki Ev} = 390 \implies \text{İlk Ev} = 390 - 44 = 346 (ba6 = 346 \implies b=3, a=... uyuşmuyor).
Tekrar hesaplayalım:
Ortadaki evin kapı numarası = 380 idi. Şıklarda 390 var.
Doğru a ve b değerlerini tekrar doğrulayalım:
90(a - b) = 88 denklemini kurmuştuk. Hemen düzeltelim:
ab4 - ba6 = 88
(100a + 10b + 4) - (100b + 10a + 6) = 88
90a - 90b - 2 = 88
90(a - b) = 90 \implies a - b = 1 (Bu kısım doğru).
Aradaki ev sayısı 43 olduğuna göre, toplam ev sayısı 43 + 2 = 45’tir.
İlk ev ile son ev arasındaki adım sayısı 45 - 1 = 44’tür.
İki ardışık çift sayı arasındaki fark 2 olduğundan, toplam fark 44 \times 2 = 88’dir.
Burada bir hata yapmadıysak ab4 - ba6 = 88 denklemi kesinlikle doğrudur.
O halde a - b = 1 ve b ile a rakamdır.
Ortadaki ev 23. evdir.
23. evin kapı numarası = ba6 + 22 \times 2 = ba6 + 44.
Şıkları inceleyelim:
A) 335 (Çift sayı olmalı, çünkü kapı numaraları ardışık çift sayıdır! 335 tek sayıdır, olamaz.)
B) 390
C) 395 (Tek sayıdır, olamaz.)
D) 410
E) 430
Ortadaki ev çift sayı olmalıdır. Bu durumda A ve C seçenekleri baştan elenir (tek sayıdır).
Kalan çift seçenekleri test edelim:
- Eğer ortadaki ev = 390 ise:
- ev (ba6) = 390 - 44 = 346
Son ev (ab4) = 390 + 44 = 434
Kontrol edelim: ab4 = 434 \implies a = 4, b = 3.
İlk ev ba6 = 346 \implies b = 3, a = 4.
Fark: 434 - 346 = 88.
Adım sayısı: 88 / 2 = 44 aralık, yani 44 + 1 = 45 ev.
Soruda ilk ve son ev arasında 43 ev olduğu söylenmişti. İlk ve son dahil toplam 45 ev olması, aralarında 43 ev olduğu anlamına gelir (43 tane ara ev vardır). Bu durum şartı tam olarak sağlamaktadır!
- ev (ba6) = 390 - 44 = 346
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
CEVAP: B) 390
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
TEMEL KAVRAMLAR:
1. Ardışık Çift Sayılar ve Terim Sayısı
- Tanım: Aralarındaki fark sabit ve 2 olan çift sayılardır.
- Bu problemde: İlk ve son ev arasındaki toplam ev sayısının 45 olduğu bulunmuş ve kapı numaralarının çift sayı olma zorunluluğundan ortadaki evin değerinin çift olacağı tespit edilmiştir.
SIK YAPILAN HATALAR:
Yanlış Ev Sayısı Hesabı
- Yanlış: “İlk ve son ev arasında 43 ev var” denildiğinde toplam ev sayısını direkt 43 almak.
- Right: İlk ve son evler haricinde arada 43 ev olduğundan, toplam ev sayısı 43 + 2 = 45 olarak hesaplanmalıdır.
- Neden yanlış: Terim sayısını yanlış almak, iki ev arasındaki toplam farkı (88 yerine başka bir sayı) bulmaya ve dolayısıyla yanlış sonuçlara yol açar.
Bu konuyu pekiştirmek için benzer bir ardışık sayı problemi çözmemi ister misin?