Bir brojede, atik suların biyolojik olarak temizlenmesi
arlacıyla A, B ve C mikroalg türlerinin çoğalma
kapasiteleri incelenmektedir. Deneyin başlangicında
özdeş besin değerlerine sahip üç farklı arıitım tankina
sadece birer adet mikroalg hücresi aşılanmıştır. Farkli
türlerin bu ortamdaki bölünme ve çoğalma davranışları
aşağıdaki gibi kaydedilmiştir.
A türü. Her 3 saatte bir hücre sayıSIni 4 katına
çıkarmaktadır.
B türü: Her 4 saatte bir hücre sayısını 9 katına
C türü: Her 9 saatte bir hücre sayısını 125 katına
Deney başlangıcindan itibaren 36 saat geçtiğinde
tanklarda oluşan toplam mikroalg hücre sayılarının
büyükten küçüğe doğru sıralanışı aşağıdakilerden
hangisidir?
A) B> C> A
B) B> A > C
D) A > B > C
E) C> A> B
C>B>A
36 Saat Sonunda Mikroalg Hücre Sayılarının Karşılaştırılması
KULLANILAN KURAL / FORMÜL:
- Çoğalma Sayısı (Periyot): n = \frac{\text{Toplam Süre}}{\text{Bölünme Süresi}}
- Son Hücre Sayısı: M = \text{Başlangıç Hücresi} \times (\text{Kat Oranı})^n
- Üslü Sayıların Karşılaştırılması: (x^a)^b = x^{a \cdot b} kuralı kullanılarak üsler eşitlenir; üsleri eşit olan pozitif üslü sayılardan tabanı büyük olan daha büyüktür.
ÇÖZÜM ADIMLARI:
Adım 1 — A Türü Mikroalg Sayısını Hesaplama
- A türü her 3 saatte bir 4 katına çıkmaktadır.
- 36 saatteki çoğalma periyodu: \frac{36}{3} = 12 kez
- 36 saat sonundaki A hücresi sayısı:A = 1 \times 4^{12} = (2^2)^{12} = 2^{24}
Adım 2 — B Türü Mikroalg Sayısını Hesaplama
- B türü her 4 saatte bir 9 katına çıkmaktadır.
- 36 saatteki çoğalma periyodu: \frac{36}{4} = 9 kez
- 36 saat sonundaki B hücresi sayısı:B = 1 \times 9^9 = (3^2)^9 = 3^{18}
Adım 3 — C Türü Mikroalg Sayısını Hesaplama
- C türü her 9 saatte bir 125 katına çıkmaktadır.
- 36 saatteki çoğalma periyodu: \frac{36}{9} = 4 kez
- 36 saat sonundaki C hücresi sayısı:C = 1 \times 125^4 = (5^3)^4 = 5^{12}
Adım 4 — Üsleri Eşitleyerek Sayıları Karşılaştırma
Elde edilen üsler (24, 18, 12) sayılarının en büyük ortak böleni \text{EBOB}(24, 18, 12) = 6’dır. Bütün sayıları üssü 6 olacak şekilde düzenleyelim:
- A = 2^{24} = (2^4)^6 = 16^6
- B = 3^{18} = (3^3)^6 = 27^6
- C = 5^{12} = (5^2)^6 = 25^6
Üsler eşit (6) olduğundan tabanları karşılaştırırız:
27 > 25 > 16 \implies B > C > A
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
CEVAP: A şıkkı (B > C > A)
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
TEMEL KAVRAMLAR:
1. Üslü Sayılarda Üssün Üssü Kuralı
- Tanım: Bir üslü sayının tekrar üssü alındığında üsler çarpılır: (a^x)^y = a^{x \cdot y}.
- Bu problemde: 4^{12}, 9^9 ve 125^4 ifadeleri tabanları asal çarpanlarına ayrılarak 2^{24}, 3^{18} ve 5^{12} biçimine getirilmiştir.
2. Üs Eşitleme Yöntemi ile Sıralama
- Tanım: Tabanları farklı üslü sayıları karşılaştırmak için üslerin \text{EBOB}'u alınarak ortak bir üs parantezine yazılır.
- Bu problemde: 24, 18, 12 üsleri 6 ortak üssünde toplanmış ve 27^6 > 25^6 > 16^6 sıralaması elde edilmiştir.
SIK YAPILAN HATALAR:
Kat Artışına Bakarak Karar Vermek
- Yanlış: C türü tek seferde 125 katına çıktığı için en hızlı onun çoğalacağını düşünüp C > B > A demek.
- Doğru: Kat artışının yanında sürenin de hesaba katılması gerekir (125 kat için 9 saat geçerken, 9 kat için sadece 4 saat geçmektedir).
- Neden yanlış: Çoğalma sıklığı periyot sayısı ile doğrudan ilişkili olduğundan toplam süredeki toplam periyot ve katlanma hesabı yapılmalıdır.
Üslü sayılarda sıralama veya logaritma içeren benzer TYT/AYT soruları çözmemi ister misin?