Bir bilinmeyenli ikinci dereceden bir denklemin birbirinden farklı ve birer reel sayı

Maths Question
1

Soru:
Bir
bilinmeyenli
ikinci
dereceden bir denklemin birbirinden farklı ve birer reel sayı olan x_{1}, x_{2} kökleri x_{1}\cdot x_{2} - (x_{1} + x_{2}) = m + 2, 2x_{1}\cdot x_{2} + x_{1} + x_{2} + m = 1 bağıntılarını sağlamaktadır. Buna göre, m reel sayısı aşağıdakilerden hangisi olabilir?

Soru Fotoğrafı:
!Soru Görseli [Link Silindi]

2

Bir bilinmeyenli ikinci dereceden bir denklemin birbirinden farklı ve birer reel sayı olan köklerine göre m değeri

:light_bulb: KULLANILAN KURAL / FORMÜL:
Bir ikinci dereceden denklemin kökleri x_1 ve x_2 için,

  • Toplamı: S = x_1 + x_2
  • Çarpımı: P = x_1 \cdot x_2

Verilen denklemlerden:

x_1 \cdot x_2 - (x_1 + x_2) = m + 2
2 x_1 \cdot x_2 + (x_1 + x_2) + m = 1

Bu iki denklemi S ve P cinsinden yazalım:

P - S = m + 2 \quad (1)
2P + S + m = 1 \quad (2)

:brain: ÇÖZÜM ADIMLARI:

Adım 1 — Denklemleri düzenle

(1) Denkleminden P = S + m + 2

(2) Denklemine P değerini yazalım:

2(S + m + 2) + S + m = 1
2S + 2m + 4 + S + m = 1
3S + 3m + 4 = 1
3S + 3m = 1 - 4 = -3
S + m = -1 \implies S = -1 - m

Adım 2 — P ifadesini bul

P = S + m + 2 = (-1 - m) + m + 2 = (-1) + 2 = 1

Adım 3 — Köklerin reel ve farklı olması koşulunu kullan

Birinci dereceden denklemin kökleri x_1, x_2 reel ve farklı ise diskriminant şartı:

\Delta = S^2 - 4P > 0

Burada S = -1 - m, P = 1 olduğuna göre:

(-1 - m)^2 - 4(1) > 0
(1 + 2m + m^2) - 4 > 0
m^2 + 2m + 1 - 4 > 0
m^2 + 2m - 3 > 0

Adım 4 — Eşitsizliği çözelim

m^2 + 2m - 3 > 0

Denklemin kökleri:

m = \frac{-2 \pm \sqrt{4 + 12}}{2} = \frac{-2 \pm 4}{2}
m_1 = \frac{-2 - 4}{2} = -3, \quad m_2 = \frac{-2 + 4}{2} = 1

Parabol yukarı doğru açılıyor (çünkü önündeki katsayı pozitif).

m^2 + 2m - 3 > 0 koşulu sağlanır:

(-\infty, -3) \cup (1, \infty)

Adım 5 — Seçeneklerle karşılaştırma

Seçenekler: -2, -1, 0, 1, 2

Bu aralıklara bakınca:

  • -2, -1, 0, 1 aralığı (-3,1] da kalır ve eşitsizliği sağlamaz (eşitsizlik sıkı değil, 1 dahil değil)

  • 2 değeri (1, \infty) aralığında, yani koşulu sağlar.

Adım 6 — Sonuç

m yalnızca 2 olabilir.

━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
:white_check_mark: CEVAP: E) 2
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━

Başka soruların olursa sormaktan çekinme! :rocket:
Bu konuyla ilgili başka bir örnek ister misin?

3

Bir bilinmeyenli ikinci dereceden bir denklemin birbirinden farklı ve birer reel sayı olan x_{1}, x_{2} kökleri x_{1}\cdot x_{2} - (x_{1} + x_{2}) = m + 2,\; 2x_{1}\cdot x_{2} + x_{1} + x_{2} + m = 1 bağıntılarını sağlamaktadır. Buna göre, m reel sayısı aşağıdakilerden hangisi olabilir?

KULLANILAN KURAL / FORMÜL:

1. İki kök için toplam ve çarpım tanımları: S=x_{1}+x_{2},\; P=x_{1}x_{2}

2. İki reel ve birbirinden farklı kök için diskriminant koşulu: D=S^{2}-4P>0

ÇÖZÜM ADIMLARI:

Adım 1 — S ve P ile ifade et

Verilenler:

P - S = m + 2
2P + S + m = 1

Adım 2 — P’yi S ve m cinsinden yaz

Başlangıç eşitliği:

P - S = m + 2
P = S + m + 2

Adım 3 — S’i bulmak için yerine koy

Başlangıç eşitliği:

2P + S + m = 1

Yerine koy:

2(S + m + 2) + S + m = 1
2S + 2m + 4 + S + m = 1
3S + 3m + 4 = 1
3S + 3m = -3
S + m = -1
S = -m - 1

Adım 4 — P’yi hesapla

Başlangıç eşitliği:

P = S + m + 2

Yerine koy:

P = (-m - 1) + m + 2
P = 1

Adım 5 — Köklerin ayrık ve reel olması için koşulu uygula

Diskriminant:

D = S^{2} - 4P

Yerine koy:

D = S^{2} - 4

Ayrık ve reel kök için:

S^{2} - 4 > 0
|S| > 2
|-m - 1| > 2
|m + 1| > 2

Bundan:

m + 1 > 2
m > 1

veya

m + 1 < -2
m < -3

Adım 6 — Seçeneklerle karşılaştır

Verilen seçenekler: -2,\; -1,\; 0,\; 1,\; 2

Koşula uyan aralıklar: m>1 veya m<-3

Buna göre seçeneklerden sadece 2 (E) bu koşulu sağlar.

:white_check_mark: CEVAP: E) 2

TEMEL KAVRAMLAR:

1. Toplam ve çarpım (S, P)

  • Tanım: İkinci dereceden denklemin kökleri için toplam S ve çarpım P.
  • Bu problemde: Verilen ifadeler S ve P cinsine çevrildi.

2. Diskriminant

  • Tanım: D=S^{2}-4P.
  • Bu problemde: D>0 koşulu ile m aralığı belirlendi.

SIK YAPILAN HATALAR:

:cross_mark: Köklerin farklılığı unutmak

  • Yanlış: D \ge 0 kabul etmek.
  • Doğru: D>0 olmalı (eşitlik tekrarlı kök verir).
  • Neden yanlış: D=0 durumunda kökler birbirine eşittir.
  • Düzeltme: Mutlaka > şeklinde kontrol et.

Başka soruların olursa sormaktan çekinme! :rocket: