Bir basketbol oyuncusunun 10 maçlık bir turnuvada maçlarda attığı sayıların bazıları aşağıdaki tabloda verilmiştir.
| Maç | Atılan sayı |
|1--- | 1— |
| 1. | |
| 2. | |
| 3. | |
| 4. | |
| 5. | |
| 6. | 14 |
| 7. | 11 |
| 8. | 21 |
| 9. | 22 |
| 10. | |
Oyuncunun bu turnuvadaki ilk 9 maçtaki maç başına sayı ortalaması, ilk 5 maçtaki maç başına sayı ortalamasından büyüktür.
Bu oyuncunun turnuva sonunda maç başına sayı ortalamasının 18’den büyük olması için 10. maçta atacağı sayı en az kaç olmalıdır?
A) 30
B) 29
C) 28
D) 27
E) 26
Aritmetik Ortalama ve Eşitsizlik Problemi
KULLANILAN FORMÜL / KURAL: Bir veri grubunun aritmetik ortalaması, gruptaki verilerin toplamının veri adedine bölünmesiyle (\text{Ortalama} = \frac{\text{Toplam Veri}}{\text{Veri Sayısı}}) hesaplanır.
ÇÖZÜM ADIMLARI
Adım 1 — İlk 5 Maçın Toplamı ile İlk 9 Maçın Ortalamasını Karşılaştırma
İlk 5 maçta atılan toplam sayıya S_5 diyelim. 6, 7, 8 ve 9. maçlarda atılan sayılar sırasıyla 14, 11, 21 ve 22’dir. Bu 4 maçın toplamı:
14 + 11 + 21 + 22 = 68
Buna göre, ilk 9 maçta atılan toplam sayı S_9 = S_5 + 68 olur. İlk 9 maçın ortalaması, ilk 5 maçın ortalamasından büyük olduğuna göre eşitsizliği kuralım:
\frac{S_5 + 68}{9} > \frac{S_5}{5}
5(S_5 + 68) > 9S_5 \implies 5S_5 + 340 > 9S_5 \implies 4S_5 < 340 \implies S_5 < 85
Atılan sayılar tam sayı olduğundan, S_5’in alabileceği en büyük tam sayı değeri S_5 = 84’tür.
Adım 2 — 10. Maçta Atılması Gereken En Az Sayıyı Bulma
10 maçın sonunda genel ortalamanın 18’den büyük olması istendiğinden, 10 maçta atılan toplam sayı (S_{10}):
\frac{S_{10}}{10} > 18 \implies S_{10} > 180 \implies S_{10} \ge 181
- maçta atılan sayıya x dersek:
S_5 + 68 + x \ge 181 \implies x \ge 113 - S_5
x’in en az değerini alabilmesi için S_5 en büyük değerinde (S_5 = 84) seçilmelidir:
x \ge 113 - 84 \implies x \ge 29
CEVAP: B) 29 (10. maçta atılan en az sayı)
SINAV NOTU / PÜF NOKTASI: Bir toplamın en küçük olabilmesi için eşitsizlikteki diğer bilinmeyenin ($S_5$) alabileceği en büyük tam sayı değeri seçilmelidir. Ortalamanın 18’den “büyük” olması şartı nedeniyle toplamın en az 181 olması gerektiğine dikkat edilmelidir.