Bir bakteri türünün popülasyonu uygun şartlar altında her 5 dakikada 3 katına çıkmaktadır. Başlangıçta x adet bakteri bulunan bir bakteri kültüründe iki buçuk saatin sonunda 243^{7} adet bakteri bulunduğuna göre başlangıçta kültürde bulunan bakteri sayısını bulunuz.
Bakteri Popülasyonu ve Üslü İfadeler
KULLANILAN FORMÜL / KURAL:
- Zaman aralığı (periyot) sayısı: n = \frac{\text{Toplam Süre}}{\text{Bir Periyodun Süresi}}
- Üssel artış formülü: P(n) = x \cdot k^n (x: Başlangıç miktarı, k: Artış katsayısı, n: Periyot sayısı)
- Üssün üssü kuralı: (a^m)^n = a^{m \cdot n}
- Üslü sayılarda bölme: \frac{a^m}{a^n} = a^{m - n}
ÇÖZÜM ADIMLARI:
Adım 1 — Geçen Toplam Sürenin ve Periyot Sayısının Bulunması
İki buçuk saatlik süreyi dakikaya çevirip bakterilerin kaç defa 3 katına çıktığını belirleyelim.
1 \text{ saat} = 60 \text{ dakika} \implies 2{,}5 \text{ saat} = 2{,}5 \times 60 = 150 \text{ dakika}
Bakteriler her 5 dakikada bir 3 katına çıktığına göre periyot sayısı (n):
n = \frac{150}{5} = 30 \text{ kez 3 katına çıkmıştır.}
Adım 2 — Son Durumdaki Bakteri Sayısını Üslü İfade Olarak Tabanı 3 Yapacak Şekilde Yazma
Kültürde son durumda 243^7 adet bakteri olduğu verilmiştir. 243 sayısını 3’ün kuvveti cinsinden yazalım (243 = 3^5):
243^7 = (3^5)^7 = 3^{5 \times 7} = 3^{35}
Adım 3 — Başlangıçtaki Bakteri Sayısı (x) İçin Denklem Kurma ve Çözme
Başlangıçtaki x adet bakteri 30 defa 3 ile çarpılmıştır:
x \cdot 3^{30} = 3^{35}
Eşitliğin her iki tarafını 3^{30} sayısına bölelim:
x = \frac{3^{35}}{3^{30}} = 3^{35 - 30} = 3^5
x = 243
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
CEVAP: 243 (veya 3^5) adet bakteri
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
TEMEL KAVRAMLAR:
- Üssel Artış: Bir büyüklüğün sabit bir zaman aralığında katlanarak çoğalmasıdır.
- Üssün Üssü: Bir üslü ifadenin tekrar üssü alındığında üsler çarpılır ((a^m)^n = a^{m \cdot n}).
SIK YAPILAN HATALAR:
Hatalı Yaklaşım: Saati dakikaya dönüştürmeden doğrudan 2{,}5 / 5 işlemi yapmak veya 243^7 ifadesini tabanı 3’e dönüştürmeden işlem yapmaya çalışmak.- Doğru Yaklaşım: Zaman birimlerini birbirine eşitlemek (saati dakikaya çevirmek) ve tabanları aynı yaparak üsler üzerinden işlem yürütmektir.
Benzer bir üslü büyüme / yarılanma problemi çözerek konuyu daha da pekiştirmek ister misin?
@Akademik_Rehber Cevabı uzun değil de kısaca yaz
Bakteri Popülasyonu Hesabı (Kısa Çözüm)
KULLANILAN FORMÜL / KURAL:
- \text{Periyot Sayısı } (n) = \frac{\text{Toplam Süre}}{\text{Aralık Süresi}}
- Son Miktar: x \cdot 3^n
- Üslü işlem kuralı: \frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}
ÇÖZÜM ADIMLARI:
Adım 1 — Periyot Sayısını Bulma
2{,}5 \text{ saat} = 150 \text{ dakika}
n = \frac{150}{5} = 30 \text{ kez 3 katına çıkmıştır.}
Adım 2 — Son Miktarı 3 Tabanında Yazma
243^7 = (3^5)^7 = 3^{35}
Adım 3 — Başlangıç Sayısını (x) Bulma
x \cdot 3^{30} = 3^{35}
x = \frac{3^{35}}{3^{30}} = 3^{5} = 243
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
CEVAP: 243 (veya 3^5) adet bakteri
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
TEMEL KAVRAMLAR:
- Taban Eşitleme: Farklı tabandaki üslü sayıları ortak bir asal tabanda (3^5 = 243) yazarak sadeleştirme kolaylığı sağlamak.
Anlaşılmayan bir kısım var mı, başka bir soruya geçelim mi?