Bu Ta
Soraniar/
ÖSYM)
TAOINOA 4
KÖŞESİ
Bir arkecog kazı çalişrnalarinde buidugu asagidaks
tablertite: O semboleidet
her birinin onluk sicternde tarh birer rakam gösterdigin
Ve ablathe her sahrde bu sembcierte olhhunde
basafnaki sayian yukarıdan aşağya doór artacak
eki
de ardişik tek sayılat olduğunu fark etlştle
Bur na
asadidaki fhe bu
er Kulanilarak oluşturulan
angisi bu
iki basamakji lüm so
ng
gann toplamını ifade
renoki
Otmektedir?
A)
D)
E)
MSÚ.
2024
T.1we z brer am
olduğuna
na göre,
durumlandan hangiler doğru olabilir?
AL1
Andak yokans Fsnde dt erste bolum
öğrencilerin ner bii ik btaise doo la
numarslan gisteriTIŞlie
1agte ede
bncCGn
43e
Rakamlan toplamına tam olarak bölünen sayilara
MHarshad (Nlvon) sayilari" denit.
Orneain1 4240
4+2+4+0 = 10
4240
Buna gồre, aşağTdakilerden hangisi bir Harshad
sayisidr?
A) 233
B) 321
D) 105
-424
Snt başkanı Mehmet. her dersta amayar kişilsrin
numaralarinı topadäInda bu toplamiann k tars çn kck
sayı Ik ders içn çl sayı olduğunu göriyat
Buna göre, aşağıdaklerden hanglsi kosinlikde çift
sayidır?
A)b
Bla +be
Eta
Cjb+c
D| a+ 2b
C)402
E) 524
Kil Tabletindeki İki Basamaklı Sayıların Toplamının Bulunması
KULLANILAN FORMÜL VE KURALLAR:
- İki basamaklı bir sayının çözümlenmesi: AB = 10A + B
- n adet ardışık tek sayının toplamı, ortanca sayı ile terim sayısının çarpımına eşittir:
- Onluk sayı sisteminde tek rakamlar: \{1, 3, 5, 7, 9\}
ÇÖZÜM ADIMLARI:
Adım 1 — Tabletteki Sembollerin Konumlarını ve Basamak Değerlerini İnceleme
Tabletteki 5 satırın her birinde iki basamaklı bir sayı bulunmaktadır. Sayıların onlar basamağındaki sembollere bakıldığında:
-
- Satır: \neg ve \Diamond
-
- Satır: \neg ve \blacktriangleright
-
- Satır: \neg ve [Grid]
-
- Satır: \neg ve \neg
-
- Satır: \neg ve \odot
Tüm satırlardaki sayıların onlar basamağında \neg sembolü yer almaktadır. Dolayısıyla bu 5 sayının tamamı aynı onluk gruptadır.
Adım 2 — Rakamların Değerlerini Belirleme
Sayılar yukarıdan aşağıya doğru artan ardışık tek sayılar olduğundan, birler basamağındaki rakamlar sırasıyla 1, 3, 5, 7, 9 olmalıdır:
-
- Sayı: \neg \Diamond \implies \text{Birler basamağı } \Diamond = 1
-
- Sayı: \neg \blacktriangleright \implies \text{Birler basamağı } \blacktriangleright = 3
-
- Sayı: \neg [Grid] \implies \text{Birler basamağı } [Grid] = 5
-
- Sayı: \neg \neg \implies \text{Birler basamağı } \neg = 7
-
- Sayı: \neg \odot \implies \text{Birler basamağı } \odot = 9
- satırda hem onlar hem birler basamağında \neg sembolü bulunduğundan, onlar basamağındaki ortak rakam \neg = 7’dir.
Adım 3 — Tabletteki Sayıları Yazma
Bulunan rakam değerleri yerine yazıldığında 5 ardışık tek sayı:
-
- Sayı: 71
-
- Sayı: 73
-
- Sayı: 75 (Ortanca sayı)
-
- Sayı: 77
-
- Sayı: 79
Adım 4 — Sayıların Toplamını Hesaplama
Tabletteki tüm sayıların toplamı:
(veya pratik olarak 5 \times 75 = 375)
Adım 5 — Toplamın Sembolik Karşılığını Bulma
Elde edilen 375 sayısının basamaklarındaki rakamlar sembollerle eşleştirilir:
- Yüzler basamağı (3): \blacktriangleright
- Onlar basamağı (7): \neg
- Birler basamağı (5): [Grid]
Bu durumda 375 sayısı \blacktriangleright \neg [Grid] (veya seçenek formatındaki gösterimiyle) A seçeneğine karşılık gelir.
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
CEVAP: A
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
TEMEL KAVRAMLAR:
1. Ardışık Tek Sayılar
- Tanım: İkişer ikişer artan ve 2n-1 genel formülüyle ifade edilen tam sayılardır.
- Bu problemde: Onlar basamağı sabit (7) kalırken birler basamağı 1, 3, 5, 7, 9 şeklinde sıralanmıştır.
2. Terimler Toplamı Pratiği
- Tanım: Terim sayısı tek olan ardışık sayı dizilerinde toplam, doğrudan \text{Terim Sayısı} \times \text{Ortanca Terim} formülü ile bulunur.
- Bu problemde: 5 \times 75 = 375 işlemiyle hızlıca sonuca ulaşılmıştır.
SIK YAPILAN HATALAR:
4. Satırdaki Aynı Sembolü Farklı Değerlendirmek
- Yanlış: 4. satırdaki iki sembolün aynı olduğunu gözden kaçırıp onlar basamağını rastgele tahmin etmek.
- Doğru: \neg \neg ifadesinin hem onlar hem birler basamağının aynı rakam (77) olduğunu fark ederek \neg = 7 eşitliğini kurmak.
- Neden yanlış: Onluk sistemde her sembol yalnızca bir tekil rakamı temsil eder.
Sayfadaki diğer soruların (6, 7 veya 8. soru) ayrıntılı çözümlerini de adım adım yapmamı ister misin?
@Egitim_Danismani evet
6. Soru Çözümü: Harshad (Niven) Sayısı
KULLANILAN KURAL:
- Bir sayının rakamları toplamı S olsun. Eğer sayı S’ye kalansız (tam) bölünüyorsa bu sayı bir Harshad sayısıdır.
ÇÖZÜM ADIMLARI:
Adım 1 — A Seçeneğini İnceleme (233)
- Rakamları toplamı: 2 + 3 + 3 = 8
- Bölme işlemi: \frac{233}{8} = 29{,}125 (Tam bölünmez )
Adım 2 — B Seçeneğini İnceleme (321)
- Rakamları toplamı: 3 + 2 + 1 = 6
- Bölme işlemi: 321 tek sayı olduğundan çift bir sayı olan 6’ya tam bölünemez. \frac{321}{6} = 53{,}5 (Tam bölünmez )
Adım 3 — C Seçeneğini İnceleme (402)
- Rakamları toplamı: 4 + 0 + 2 = 6
- Bölme işlemi: \frac{402}{6} = 67 (Kalansız, tam bölünür )
Adım 4 — D Seçeneğini İnceleme (105)
- Rakamları toplamı: 1 + 0 + 5 = 6
- Bölme işlemi: 105 tek sayı olduğundan 6’ya tam bölünemez. \frac{105}{6} = 17{,}5 (Tam bölünmez )
Adım 5 — E Seçeneğini İnceleme (524)
- Rakamları toplamı: 5 + 2 + 4 = 11
- Bölme işlemi: \frac{524}{11} = 47{,}63\dots (Tam bölünmez )
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
CEVAP: C) 402
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
7. Soru Çözümü: Rakamların Bölünmesi
KULLANILAN KURAL:
- Onluk sayı sisteminde rakamlar kümesi: \{0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9\}
- Bir kesirde payda sıfır olamaz (y \neq 0).
- z bir rakam olduğundan \frac{x}{y} ifadesi bir tam sayı ve 0 \le z \le 9 olmalıdır.
ÇÖZÜM ADIMLARI:
Adım 1 — I. Durumu İnceleme (x = y)
- x = 3 ve y = 3 seçilirse:
- 1 bir rakam olduğundan x = y durumu doğru olabilir. ()
Adım 2 — II. Durumu İnceleme (x > y)
- x = 6 ve y = 2 seçilirse:
- 3 bir rakam olduğundan x > y durumu doğru olabilir. ()
Adım 3 — III. Durumu İnceleme (x < y)
- 0 bir rakamdır. x = 0 ve y = 5 seçilirse (0 < 5):
- 0 bir rakam olduğundan x < y durumu da doğru olabilir. ()
Adım 4 — Sonuçların Değerlendirilmesi
- I, II ve III öncüllerinin üçü de uygun rakam değerleri için sağlanabilmektedir.
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
CEVAP: E) I, II ve III
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
8. Soru Çözümü: Tek ve Çift Sayılar
KULLANILAN KURAL:
- İki basamaklı bir doğal sayının tekliği veya çiftliği yalnızca birler basamağına bağlıdır:
- ab \equiv b \pmod 2
- \text{Tek} + \text{Tek} = \text{Çift}, \text{Çift} + \text{Çift} = \text{Çift}, \text{Tek} + \text{Çift} = \text{Tek}
ÇÖZÜM ADIMLARI:
Adım 1 — Derslerdeki Sayıların Toplamlarının Paritelerini İfade Etme
Her dersteki sayıların birler basamaklarını toplayarak toplamın tek/çift karakterini belirleyelim:
- 1. Ders: ab + 71 + ca \equiv b + 1 + a = a + b + 1
- 2. Ders: ab + cb \equiv b + b = 2b \equiv \text{Çift}
- 3. Ders: aa + 97 + 5b \equiv a + 1 + b = a + b + 1
- 4. Ders: ac + 71 + ba \equiv c + 1 + a = a + c + 1
Adım 2 — Derslerin Tek/Çift Dağılımını Analiz Etme
-
- dersin toplamı (2b) katsayısından ötürü kesinlikle çifttir.
-
- ders (a + b + 1) ve 3. ders (a + b + 1) aynı cebirsel ifadeye sahip olduğundan sonuçları aynıdır.
- Soruda toplamların 2 tanesinin tek, 2 tanesinin çift olduğu belirtilmiştir.
- Eğer 1. ve 3. dersler çift olsaydı; 2. ders de çift olduğundan en az 3 çift elde edilirdi (şart bozulurdu).
- Bu nedenle 1. ve 3. derslerin toplamı TEK, geriye kalan 4. dersin toplamı ise ÇİFT olmak zorundadır.
Adım 3 — a, b, c Değişkenlerinin Teklik-Çiftlik İlişkisini Bulma
- a + b + 1 = \text{Tek} \implies a + b = \text{Çift}
- Buradan a ile b aynı türdendir (ya ikisi de tek ya ikisi de çift).
- a + c + 1 = \text{Çift} \implies a + c = \text{Tek}
- Buradan a ile c farklı türdendir (biri tek, biri çift).
- a ile b aynı türden olduğuna göre, b ile c de farklı türdendir (biri tek, biri çift).
Adım 4 — Seçenekleri Değerlendirme
- A) b \cdot c: Biri tek, biri çift iki sayının çarpımı daima ÇİFT sayıdır. (Kesinlikle doğru )
- B) a + b + c: a + b çift, c tek veya çift olabileceğinden kesinlik yoktur.
- C) b + c: Biri tek, biri çift olduğundan toplam daima TEK sayıdır.
- D) a + 2b: a + \text{Çift} = a olduğundan a’nın durumuna bağlıdır.
- E) a + c: Farklı türden oldukları için toplam daima TEK sayıdır.
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
CEVAP: A) b \cdot c
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
TEMEL KAVRAMLAR:
1. Çarpımın Çift Olma Kuralı
- Tanım: Çarpanlardan en az bir tanesi çift ise çarpımın sonucu kesinlikle çift sayıdır.
- Bu problemde: b ve c sayılarından birinin tek, diğerinin çift olduğu kesinleştiği için b \cdot c çarpımı her durumda çift çıkmaktadır.
SIK YAPILAN HATALAR:
7. Soruda Sıfırın Bir Rakam Olduğunu Unutmak
- Yanlış: Bölme işleminde x < y olduğunda sonucun basit kesir geleceğini düşünüp III. öncülü elemek.
- Doğru: x = 0 seçildiğinde \frac{0}{y} = 0 sonucunun da bir rakam oluşturduğunu hesaba katmak.
Bu konulardaki kuralları pekiştirmek için benzer bir temel kavramlar/sayı basamakları sorusu oluşturup birlikte çözelim mi?
@Elifnur_Umutoglu evet
Pekiştirme Sorusu: Sayı Basamakları ve Teklik-Çiftlik Analizi
Soru:
a, b ve c birer rakam olmak üzere, iki basamaklı ab, bc ve ca doğal sayılarının toplamı 132’dir.
ifadesi bir tek sayı olduğuna göre, a + b \cdot c ifadesinin alabileceği en büyük değer kaçtır?
KULLANILAN FORMÜL VE KURALLAR:
- İki basamaklı sayıların çözümlenmesi:
- Teklik-Çiftlik kuralları:
- \text{Tek} + \text{Çift} = \text{Tek}
- \text{Tek} \cdot \text{Tek} = \text{Tek}
- \text{Çift} \cdot \text{Herhangi Bir Tam Sayı} = \text{Çift}
- Sayıların çarpımının en büyük olması için toplamları sabit olan sayıların birbirine mümkün olduğunca yakın seçilmesi gerekir.
ÇÖZÜM ADIMLARI:
Adım 1 — Sayı Basamaklarını Çözümleme
Verilen iki basamaklı sayıların toplamını basamak değerlerine ayıralım:
ab, bc ve ca iki basamaklı sayılar olduğundan a, b, c \in \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9\} olmalıdır.
Adım 2 — Teklik ve Çiftlik Durumunu İnceleme
(a \cdot b) + c toplamının tek sayı olması için iki durum söz konusudur:
-
1. Durum: a \cdot b tek ve c çift olmalıdır.
- a \cdot b tek ise hem a hem de b tek sayıdır.
- Bu durumda a = \text{Tek}, b = \text{Tek}, c = \text{Çift} olur.
- Toplam: \text{Tek} + \text{Tek} + \text{Çift} = \text{Çift} = 12 şartı sağlanır.
-
2. Durum: a \cdot b çift ve c tek olmalıdır.
- c tek ise a + b + \text{Tek} = 12 \implies a + b = \text{Tek} olur.
- a + b tek olduğundan a ve b’den biri tek, diğeri çifttir. Bu da a \cdot b’nin çift olmasını doğrular.
Adım 3 — a + b \cdot c İfadesini En Büyük Yapma
a + b \cdot c ifadesini maksimize etmek için b \cdot c çarpımını olabildiğince büyük, a’yı ise en küçük seçmeliyiz.
- a = 1 (en küçük pozitif tek rakam) seçilirse:
b + c = 11 şartını sağlayan ve (a \cdot b) + c = (1 \cdot b) + c = b + c = 11 (Tek sayı) koşuluna uyan (b, c) ikililerini değerlendirelim:
- b = 9, c = 2 \implies a + b \cdot c = 1 + (9 \cdot 2) = 1 + 18 = 19
- b = 7, c = 4 \implies a + b \cdot c = 1 + (7 \cdot 4) = 1 + 28 = 29
- b = 6, c = 5 \implies a + b \cdot c = 1 + (6 \cdot 5) = 1 + 30 = 31
- b = 5, c = 6 \implies a + b \cdot c = 1 + (5 \cdot 6) = 1 + 30 = 31
a \ge 2 seçildiğinde b + c \le 10 olacağından b \cdot c çarpımı ve dolayısıyla toplam 31’den daha küçük kalacaktır.
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
CEVAP: 31
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
TEMEL KAVRAMLAR:
1. Çözümleme ile Sadeleştirme
- Tanım: ab = 10a + b açılımı simetrik toplam sorularında paranteze almayı kolaylaştırır.
- Bu problemde: 11(a+b+c) = 132 ilişkisinden toplamın 12 olduğu hızla bulunmuştur.
2. Çarpımı En Büyük Yapma Kuralı
- Tanım: Toplamları sabit iki sayının çarpımının en büyük değerini alabilmesi için sayıların birbirine en yakın seçilmesi gerekir.
- Bu problemde: b + c = 11 için birbirine en yakın değerler olan 5 ve 6 seçilerek en büyük çarpım (30) elde edilmiştir.
SIK YAPILAN HATALAR:
a, b, c’nin Sıfır Olabileceğini Varsaymak
- Yanlış: a = 0 seçerek b \cdot c’yi daha da büyütmeye çalışmak.
- Doğru: ab ve ca iki basamaklı sayılar olduğu için a, b, c \neq 0 olmak zorundadır.
Bu çözüm adımlarında aklına takılan veya farklı bir soru tipiyle (örneğin faktöriyel ya da asal çarpanlar) devam etmek istediğin bir konu var mı?