Motor sporları yarışlarının yapıldığı bir pist, aşağıda verilen taslak çizimde gösterildiği gibi ABCD dörtgeni biçiminde tasarlanmıştır. Araçlar pistin A noktasından başlayarak ok yönünde sırasıyla B , C , D ve P noktalarındaki virajlardan dönerek tekrar A noktasına ulaştığında yarışın bir turunu tamamlamış oluyorlar. Dörtgenin AD kenarı, araçların garajlarının bulunduğu ve lastik değişiminin yapıldığı kısım olarak planlanmıştır. Son virajın bulunduğu P noktası AB , AD ve CD kenarlarına eşit uzaklıkta olacak şekilde tasarlanmıştır.
Bir araç, AB yolunda ilerlerken B noktasındaki virajda saat 1 yönünde dönerek BC yoluna, C noktasındaki virajda ise saat 3 yönünde dönerek CD yoluna geçmiştir.
Buna göre bu araç P noktasına geldiğinde saat kaç yönünde dönerse AP yoluna geçer?
A) 10
B) 9
C) 8
D) 6
E) 4
Araçların D noktasından DP yoluna geçerken yaptıkları dönüş açısı 140^irc iken A noktasından AB yoluna geçerken yaptıkları dönüş açısı 135^irc dir.
Araçların B ve C noktalarındaki dönüş açılarının ölçüleri eşit olduğuna göre her iki virajda da kaç derecelik açılarla dönüş yaparlar?
A) 70
B) 75
C) 80
D) 85
E) 95
Motor Sporları Pisti Açı ve Yön Problemleri
Verilen bilgilere göre, P noktası AB, AD ve CD kenarlarına eşit uzaklıkta olduğundan:
- [AP ışını, A köşesindeki iç açının açıortayıdır: m(\angle BAP) = m(\angle PAD) = \frac{\widehat{A}}{2}
- [DP ışını, D köşesindeki iç açının açıortayıdır: m(\angle CDP) = m(\angle PDA) = \frac{\widehat{D}}{2}
Bir aracın doğrultusundan sapma miktarı dönüş açısıdır (dış açı). Dolayısıyla:
11. Sorunun Çözümü
KULLANILAN FORMÜL / KURAL:
- Saat kadranında ardışık her iki saat arası: \frac{360^\circ}{12} = 30^\circ
- Saat 12 yönü düz doğrultuyu (0° sapma), saat 1 yönü 30^\circ sağa sapmayı, saat 3 yönü 90^\circ sağa sapmayı ifade eder.
- Dörtgenin iç açıları toplamı: \widehat{A} + \widehat{B} + \widehat{C} + \widehat{D} = 360^\circ
- Açıortaylar arasındaki açı: m(\angle APD) = 180^\circ - \left(\frac{\widehat{A} + \widehat{D}}{2}\right)
ÇÖZÜM ADIMLARI:
Adım 1 — B ve C Köşelerindeki Açıların Hesaplanması
- Araç B virajında saat 1 yönünde dönmüştür; yani sağa 1 \times 30^\circ = 30^\circ sapmıştır.\widehat{B} = 180^\circ - 30^\circ = 150^\circ
- Araç C virajında saat 3 yönünde dönmüştür; yani sağa 3 \times 30^\circ = 90^\circ sapmıştır.\widehat{C} = 180^\circ - 90^\circ = 90^\circ
Adım 2 — A ve D Açılarının Toplamının Bulunması
ABCD dörtgeninin iç açıları toplamından:
Adım 3 — P Noktasındaki İç Açının Hesaplanması
P noktası açıortayların kesim noktası olduğundan APD üçgeninde:
Adım 4 — P Virajındaki Dönüş Yönünün Belirlenmesi
- Araç D’den P’ye doğru ilerlerken A noktası sol tarafta kalmaktadır.
- DP doğrultusu uzatıldığında, AP yoluna geçebilmek için aracın yapması gereken sapma açısı:\text{Dönüş Açısı} = 180^\circ - m(\angle APD) = 180^\circ - 120^\circ = 60^\circ \text{ (sola dönüş)}
- Düz gidiş yönü saat 12 kabul edildiğinde, sola 60^\circ (2 \times 30^\circ) sapma:12 - 2 = 10 \text{ yönüne karşılık gelir.}
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
CEVAP: A) 10
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
12. Sorunun Çözümü
KULLANILAN FORMÜL / KURAL:
- Bir virajdaki dönüş açısı \theta ise, iç açı 180^\circ - \theta olur.
- Açıortay özelliğinden: \widehat{D} = 2 \times m(\angle CDP) ve \widehat{A} = 2 \times m(\angle BAP)
ÇÖZÜM ADIMLARI:
Adım 1 — D ve A Köşelerindeki Dörtgen Açılarını Bulma
-
D noktasında dönüş açısı 140^\circ olduğundan:
m(\angle CDP) = 180^\circ - 140^\circ = 40^\circ[DP açıortay olduğundan:
\widehat{D} = 2 \times 40^\circ = 80^\circ -
A noktasında dönüş açısı 135^\circ olduğundan:
m(\angle BAP) = 180^\circ - 135^\circ = 45^\circ[AP açıortay olduğundan:
\widehat{A} = 2 \times 45^\circ = 90^\circ
Adım 2 — B ve C Köşelerindeki Dönüş Açısını Hesaplama
ABCD dörtgeninde iç açılar toplamı 360^\circ’dir:
B ve C noktalarındaki dönüş açıları eşit ve \alpha olsun:
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
CEVAP: D) 85
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
TEMEL KAVRAMLAR:
- Açıortay: Bir açının kollarına eşit uzaklıkta bulunan noktalar kümesi o açının açıortayı üzerindedir. P noktası kenarlara eşit uzaklıkta olduğu için açıortayların kesim noktasıdır.
- Sapma/Dönüş Açısı: Bir hareketlinin izlediği doğrultudan sapma miktarıdır ve geometrik olarak çokgenin dış açısına denk gelir.
SIK YAPILAN HATALAR:
Hatalı Yaklaşım: Üçgenin iç açısı olan 120^\circ’yi doğrudan saat yönü olarak alıp 4 saat geri sayarak “Saat 8” cevabına ulaşmak.- Doğru Yaklaşım: Dönüş açısının, iç açının bütünleyeni (dış açı) olduğunu fark ederek 180^\circ - 120^\circ = 60^\circ sola dönüş olduğunu ve bunun saat 10 yönünü gösterdiğini hesaplamak.
Benzer bir açıortay veya çokgenlerde yön bulma sorusu çözerek konuyu daha da pekiştirmek ister misin?