Bir ambalaj tasarımında, birim karelere ayrılmış dikdörtgen biçimindeki bir kartonun üzerinde A, B ve C noktaları şekilde gösterildiği gibi belirlenmiştir.
Tasarım sırasında,
• A ile B noktalarını birleştiren pembe çizgi katlama çizgisi olarak kullanılmakta,
• C noktasından bu çizgiye dik olacak biçimde mavi bir şerit yerleştirilmekte,
• sarı renkli karton parçası AB doğrusu boyunca katlanmaktadır.
Katlama işlemi tamamlandığında mavi şeridin bir bölümü katlanan kartonun altında kaldığından görünmemektedir.
Buna göre katlama sonrasında mavi şeridin görünen bölümünün uzunluğu kaç birimdir?
Katlama Geometrisi ve Dik Üçgende Benzerlik
KULLANILAN FORMÜL / KURAL: İkizkenar üçgende alan bağıntısı (A = \frac{taban \times yükseklik}{2}), Pisagor teoremi (a^2 + b^2 = c^2) ve katlama neticesinde oluşan açıortay ile dik üçgen trigonometrik oranları (\tan \alpha = \frac{\text{Karşı}}{\text{Komşu}}) kullanılır.
ÇÖZÜM ADIMLARI
Adım 1 — Koordinatların ve Mavi Şeridin (CH) Uzunluğunun Belirlenmesi
A noktasını orijin (0,0) kabul edelim. Birim kareler sayıldığında kartonun boyutları 10 \times 8 birimdir:
- A = (0, 0)
- B = (6, 8)
- C = (10, 0)
AB ve AC uzunlukları:
|AB| = \sqrt{6^2 + 8^2} = 10 \text{ birim}, \quad |AC| = 10 \text{ birim}
ABC bir ikizkenar üçgendir (|AB| = |AC| = 10). Mavi şerit, C noktasından AB’ye inilen [CH] dikmesidir. \ Alan(ABC) iki farklı tabandan hesaplanırsa:
Alan(ABC) = \frac{|AC| \cdot y_B}{2} = \frac{10 \cdot 8}{2} = 40
Alan(ABC) = \frac{|AB| \cdot |CH|}{2} \implies \frac{10 \cdot |CH|}{2} = 40 \implies |CH| = 8 \text{ birim}
AHC dik üçgeninde Pisagor teoreminden:
|AH| = \sqrt{|AC|^2 - |CH|^2} = \sqrt{10^2 - 8^2} = 6 \text{ birim}
Adım 2 — Katlanan Sarı Kartonun Mavi Şerit Üzerindeki İzdüşümü
Sarı karton parçası, sol üst köşesi D(0,8) olan dik üçgendir (|AD| = 8, |DB| = 6).
Bu parça AB doğrusu boyunca katlandığında D noktası D' noktasına gelir ve \angle DAB = \angle D'AB = \alpha olur:
\tan \alpha = \frac{|DB|}{|AD|} = \frac{6}{8} = \frac{3}{4}
Mavi şerit AB’ye H noktasında dik olduğundan, katlanan kartonun kenarı ([AD']) ile mavi şeridin kesiştiği noktaya P dersek, AHP bir dik üçgen olur (\angle AHP = 90^\circ):
|HP| = |AH| \cdot \tan \alpha = 6 \cdot \frac{3}{4} = 4{,}5 \text{ birim}
Hipotenüs |AP| = \sqrt{6^2 + 4{,}5^2} = 7{,}5 < 8 olduğundan P noktası hakikaten [AD'] kenarı üzerindedir.
Dolayısıyla mavi şeridin katlanan kartonun altında kalan (görünmeyen) bölümü [HP] olup uzunluğu 4{,}5 birimdir.
Adım 3 — Görünen Kısmın Hesaplanması
Mavi şeridin toplam uzunluğundan örtülen kısım çıkarılır:
|PC| = |CH| - |HP| = 8 - 4{,}5 = 3{,}5 \text{ birim} = \frac{7}{2} \text{ birim}
CEVAP: 3,5 birim (\frac{7}{2})
SINAV NOTU / PÜF NOKTASI: Katlama sorularında kat izi daima açıortay doğrusudur. Katlanan bölgenin sınırlarının aranan doğru parçasını hangi noktada kestiğini bulmak için trigonometrik eğim (\tan \alpha) veya benzerlik kullanmak işlem hatasını önler ve süreyi kısaltır.