Bir ambalaj tasarımcısı, dörtgen biçimindeki ABCD kartonundan üçgen biçiminde bir zarf hazırlamaktadır. ABC dik üçgeni bu zarfın gövdesini, ACD üçgeni ise katlanabilir kapağını oluşturmaktadır.
Kapağın D ucunun yerleşeceği G noktası, üçgen biçimindeki ABC gövdesinde kenarortayların kesiştiği noktadır. Kapak, [AC] boyunca katlandığında D köşesi G noktasıyla çakışmaktadır.
Buna göre kapağın katlama çizgisi olan |AC| uzunluğu kaç birimdir?
Dik Üçgende Ağırlık Merkezi ve Kenarortay Bağıntıları
KULLANILAN FORMÜL / KURAL: Katlama işleminde açı ve kenar uzunlukları korunarak simetri eksenine göre yansır (\Delta ACD \cong \Delta ACG). Bir dik üçgende dik kenarlara ait kenarortay uzunlukları (V_a ve V_c) ile hipotenüs (b = |AC|) arasında V_a^2 + V_c^2 = \dfrac{5}{4}|AC|^2 bağıntısı geçerlidir.
ÇÖZÜM ADIMLARI
Adım 1 — Katlama Simetrisi ile |AG| ve |CG| Uzunluklarının Bulunması
[AC] katlama çizgisine göre D noktası G noktası ile çakıştığından \Delta ACD \cong \Delta ACG eş üçgenlerdir. Buradan:
|AG| = |AD| = 8 \text{ birim}
|CG| = |CD| = 6 \text{ birim}
Adım 2 — Ağırlık Merkezinden Kenarortay Uzunluklarına Geçiş
G noktası ABC dik üçgeninin ağırlık merkezi (kenarortayların kesişim noktası) olduğundan, kenarortaylar ağırlık merkezinde 2:1 oranında bölünür:
- A köşesinden çizilen kenarortay: V_a = \dfrac{3}{2} |AG| = \dfrac{3}{2} \cdot 8 = 12 \text{ birim}
- C köşesinden çizilen kenarortay: V_c = \dfrac{3}{2} |CG| = \dfrac{3}{2} \cdot 6 = 9 \text{ birim}
Adım 3 — Dik Üçgende Kenarortay Bağıntısı ile |AC| Hesabı
B açısı 90^\circ olan ABC dik üçgeninde dik kenarlara ait kenarortayların kareleri toplamı:
V_a^2 + V_c^2 = \frac{5}{4}|AC|^2
12^2 + 9^2 = \frac{5}{4}|AC|^2
144 + 81 = 225 = \frac{5}{4}|AC|^2
|AC|^2 = \frac{225 \cdot 4}{5} = 45 \cdot 4 = 180
|AC| = \sqrt{180} = 6\sqrt{5} \text{ birim}
CEVAP: 6\sqrt{5} birim (|AC| = 6\sqrt{5})
SINAV NOTU / PÜF NOKTASI: Ağırlık merkezinin köşeye uzaklığı kenarortayın \frac{2}{3}'üdür. Dik üçgende dik kenarlara ait kenarortaylar verildiğinde Pisagor yerine doğrudan V_a^2 + V_c^2 = 5V_b^2 = \frac{5}{4}b^2 kuralını kullanmak sınavda ciddi zaman kazandırır.
@Akademik_Rehber biz maarif modelde kenarortay bağıntısı hesabını öğrenmedik yada ben bilmiyorum bu yüzden anlayamadım
Yeni müfredatta kenarortay formüllerini ezberlemeden, sadece ağırlık merkezinin 2:1 kuralı ve temel Pisagor bağıntısı ile soruyu çok daha kolay çözebilirsin:
1. Adım: Katlama Eşliği
Kapak katlandığında D noktası G ile çakıştığı için:
- |AG| = |AD| = 8\text{ birim}
- |CG| = |CD| = 6\text{ birim}
2. Adım: Ağırlık Merkezinin 2:1 Kuralı
Ağırlık merkezi (G), kenarortayı köşeye 2 birim, kenara 1 birim (2k’ya k) oranında böler:
- A’dan çizilen kenarortay BC kenarını K noktasında kessin:
|AG| = 8 ise kenara kalan parça |GK| = 4 olur. Kenarortayın tamamı:|AK| = 8 + 4 = 12\text{ birim} - C’den çizilen kenarortay AB kenarını L noktasında kessin:
|CG| = 6 ise kenara kalan parça |GL| = 3 olur. Kenarortayın tamamı:|CL| = 6 + 3 = 9\text{ birim}
3. Adım: Dik Kenarlara İsim Verip Pisagor Uygulama
ABC dik üçgeninde B köşesi 90^\circ olduğu için:
- Dik kenarlardan |AB| = 2x olsun (L orta nokta olduğu için |AL| = |LB| = x).
- Diğer dik kenar |BC| = 2y olsun (K orta nokta olduğu için |BK| = |KC| = y).
Şimdi oluşan iki küçük dik üçgende Pisagor uygulayalım:
-
ABK dik üçgeninde Pisagor (B açısı 90^\circ):
|AB|^2 + |BK|^2 = |AK|^2(2x)^2 + y^2 = 12^2 \implies \mathbf{4x^2 + y^2 = 144} -
CBL dik üçgeninde Pisagor (B açısı 90^\circ):
|BL|^2 + |BC|^2 = |CL|^2x^2 + (2y)^2 = 9^2 \implies \mathbf{x^2 + 4y^2 = 81}
4. Adım: Taraf Tarafa Toplama ve |AC|'yi Bulma
İki denklemi alt alta toplayalım:
(4x^2 + y^2) + (x^2 + 4y^2) = 144 + 81
5x^2 + 5y^2 = 225
5(x^2 + y^2) = 225 \implies \mathbf{x^2 + y^2 = 45}
Bizden istenen katlama çizgisi |AC| hipotenüsüdür. Büyük ABC üçgeninde Pisagor yazarsak:
|AC|^2 = |AB|^2 + |BC|^2
|AC|^2 = (2x)^2 + (2y)^2 = 4x^2 + 4y^2 = 4(x^2 + y^2)
x^2 + y^2 = 45 değerini yerine yazalım:
|AC|^2 = 4 \cdot 45 = 180
|AC| = \sqrt{180} = \mathbf{6\sqrt{5}\text{ birim}}