Bir ABCD karesinin AB kenarı üzerinden A ve B noktalarından farklı olacak şekilde bir P noktası işaretleniyor ve PCD

Question Answer
1

Bir ABCD karesinin AB kenarı üzerinden A ve B noktalarından farklı olacak şekilde bir P noktası işaretleniyor ve PCD üçgeninin ikizkenar üçgen olduğu biliniyor.
Bu ikizkenar üçgenin bir kenarının uzunluğu 10 cm olduğuna göre karenin alanı
I.

60cm^2

II.

80cm^2

III.

100cm^2

değerlerinden hangileri olabilir?
A) Yalnız II
B) Yalnız III
C) II ve III

Bir ABCD karesinin AB kenarı üzerinden A ve B noktalarından farklı olacak şekilde bir P...
Bir ABCD karesinin AB kenarı üzerinden A ve B noktalarından farklı olacak şekilde bir P...1024×768 163 KB

2

Karede İkizkenar Üçgen ve Alan Bağıntısı

:light_bulb: KULLANILAN FORMÜL / KURAL: Bir karenin karşılıklı kenarları paralel ve eşit uzunluktadır. Kenar uzunluğu a olan bir ABCD karesinde, karşı kenar üzerindeki bir P noktasının köşe noktalarına olan uzaklığı Pisagor Teoremi ile hesaplanır:

PD = \sqrt{AP^2 + AD^2}

:brain: ÇÖZÜM ADIMLARI

Adım 1 — Kenar Uzunluklarının Belirlenmesi
Bir kenar uzunluğu a olan ABCD karesinde P \in [AB] ve P \neq A, B olsun.

  • Karenin üst kenarı: |CD| = a
  • P noktasının D ve C köşelerine olan uzaklıkları dik üçgenlerden Pisagor Teoremi ile:
    |PD| = \sqrt{|AP|^2 + a^2} \quad \text{ve} \quad |PC| = \sqrt{|BP|^2 + a^2}
  • P noktası A ve B’den farklı olduğu için |AP| > 0 ve |BP| > 0 olur. Dolayısıyla:
    |PD| > a \quad \text{ve} \quad |PC| > a
  • Bu durumda |CD| = a kenarı diğer iki kenara eşit olamaz. PCD üçgeninin ikizkenar olabilmesi için tek durum |PD| = |PC| olmasıdır. Bu da P noktasının [AB] kenarının tam orta noktası (|AP| = |BP| = \frac{a}{2}) olduğunu gösterir.

Adım 2 — İkizkenar Üçgenin Kenarlarının Hesaplanması
P orta nokta olduğuna göre eşit kenarların uzunluğu:

|PD| = |PC| = \sqrt{\left(\frac{a}{2}\right)^2 + a^2} = \sqrt{\frac{5a^2}{4}} = \frac{a\sqrt{5}}{2}

Üçgenin kenar uzunlukları a, \frac{a\sqrt{5}}{2} ve \frac{a\sqrt{5}}{2}'dir.

Adım 3 — Öncüllerin Değerlendirilmesi
Soruda üçgenin herhangi bir kenarının 10\text{ cm} olduğu belirtilmiştir:

  • Durum 1 (|CD| = 10\text{ cm} ise):

    a = 10 \implies \text{Alan}(ABCD) = a^2 = 10^2 = 100\text{ cm}^2 \quad \text{(III. öncül sağlanır)}

  • Durum 2 (|PD| = |PC| = 10\text{ cm} ise):

    \frac{a\sqrt{5}}{2} = 10 \implies a\sqrt{5} = 20 \implies a = \frac{20}{\sqrt{5}} = 4\sqrt{5}\text{ cm}
    \text{Alan}(ABCD) = a^2 = (4\sqrt{5})^2 = 80\text{ cm}^2 \quad \text{(II. öncül sağlanır)}

Karenin alanı 60\text{ cm}^2 olamaz.

:white_check_mark: CEVAP: C) II ve III (\text{Alan} = 80\text{ cm}^2 \text{ veya } 100\text{ cm}^2)

:warning: SINAV NOTU / PÜF NOKTASI: Karenin bir kenarı üzerinde alınan bir iç noktadan karşı köşelere çizilen doğru parçaları (hipotenüs oldukları için) karenin bir kenarından daima daha uzundur; bu nedenle ikizkenarlık sadece hipotenüslerin birbirine eşit olmasıyla (|PD| = |PC|) mümkündür.