a =b
c+ bc
oc.tosb
Bir ABC üçgeninin kenar uzunlukları a, b ve c’dir.
D) -cosĈ
E) -1
A) cosC
ifadesinin eşiti aşağıdakilerden hangisidir?
B) -2cos ĉ
C) 2cos&
AciL MATEMATIK
a?+b-c2
uzunlukları
sirasıyla a, b ve c’dir.
Bir ABC üçgeninde A, B ve C köşelerinin karsıSIndaki kenar
ochsbe
A) 30
bağıntisı oleuğuna göre, m(ẤI
kãç derecedir?
B) 60
Dy i35
E)
(a
a(b +c)
Uçgenin kenar uzunluklar arasında,
a1ro.be)
Bir ABC Üçgeninde Kenar Uzunlukları ve Kosinüs Teoremi Bağıntıları
Görselde yer alan ve metne aktarılan üç farklı soruyu adım adım inceleyelim. Bu soruların tamamı trigonometrideki Kosinüs Teoremi temel alınarak hazırlanmıştır.
2. Soru Çözümü
Soru: Bir ABC üçgeninde kenar uzunlukları arasında (a-c) \cdot (a+c) = b \cdot (b+c) bağıntısı olduğuna göre, m(\hat{A}) kaç derecedir?
KULLANILAN FORMÜL:
Kosinüs Teoremi: a^2 = b^2 + c^2 - 2bc \cdot \cos(\hat{A})
ÇÖZÜM ADIMLARI:
Adım 1 — Verilen Bağıntıyı Düzenleme
Sol taraftaki iki kare farkı özdeşliğini açalım ve sağ tarafı dağıtalım:
(a-c)(a+c) = a^2 - c^2
b(b+c) = b^2 + bc
Eşitliği kuralım: a^2 - c^2 = b^2 + bc \implies a^2 = b^2 + c^2 + bc
Adım 2 — Kosinüs Teoremi ile Karşılaştırma
Elimizdeki bağıntı: a^2 = b^2 + c^2 + bc
Kosinüs Teoremi: a^2 = b^2 + c^2 - 2bc \cdot \cos(\hat{A})
Bu iki eşitliğin sağ tarafları birbirine eşit olmalıdır:
bc = -2bc \cdot \cos(\hat{A})
Adım 3 — Açıyı Bulma
Her iki tarafı bc değerine bölelim (b, c \neq 0):
1 = -2 \cdot \cos(\hat{A})
\cos(\hat{A}) = -\frac{1}{1}
Kosinüs değeri -\frac{1}{2} olan açı 120^\circ’dir.
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
CEVAP: m(\hat{A}) = 120^\circ (C Seçeneği)
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
3. Soru Çözümü
Soru: \frac{a^2 + b^2 - c^2}{a \cdot b} ifadesinin eşiti aşağıdakilerden hangisidir?
KULLANILAN FORMÜL:
c kenarına göre Kosinüs Teoremi: c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cdot \cos(\hat{C})
ÇÖZÜM ADIMLARI:
Adım 1 — c^2 İfadesini Yalnız Bırakma
Kosinüs teoreminde 2ab \cdot \cos(\hat{C}) ifadesini sol tarafa, c^2 ifadesini sağ tarafa atalım:
2ab \cdot \cos(\hat{C}) = a^2 + b^2 - c^2
Adım 2 — İstenen Oranı Oluşturma
Soruda bizden istenen \frac{a^2 + b^2 - c^2}{ab} ifadesiydi. Bulduğumuz eşitliğin her iki tarafını ab değerine bölelim:
\frac{2ab \cdot \cos(\hat{C})}{ab} = \frac{a^2 + b^2 - c^2}{ab}
2 \cdot \cos(\hat{C}) = \frac{a^2 + b^2 - c^2}{ab}
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
CEVAP: 2\cos\hat{C} (C Seçeneği)
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
4. Soru Çözümü (Görseldeki 4. Soru)
Soru: a^2 = b^2 + c^2 + bc bağıntısı verildiğinde açının belirlenmesi.
KULLANILAN FORMÜL:
a^2 = b^2 + c^2 - 2bc \cdot \cos(\hat{A})
ÇÖZÜM ADIMLARI:
Adım 1 — Bağıntı Analizi
Verilen: a^2 = b^2 + c^2 + bc
Teoremden bildiğimiz: a^2 = b^2 + c^2 - 2bc \cdot \cos(\hat{A})
Adım 2 — Eşitleme
+bc = -2bc \cdot \cos(\hat{A})
- \frac{1}{2} = \cos(\hat{A})
Bu durumda m(\hat{A}) = 120^\circ olur. Eğer soru \cos\hat{A} değerini soruyorsa -\frac{1}{2}, açıyı soruyorsa 120^\circ cevabına ulaşılır.
TEMEL KAVRAMLAR:
1. Kosinüs Teoremi
- Tanım: Bir üçgende bir kenarın karesi, diğer iki kenarın kareleri toplamından, bu iki kenarın çarpımının iki katı ile aralarındaki açının kosinüsünün çarpımının çıkarılmasına eşittir.
- Bu problemde: Bilinmeyen açıları veya kenar oranlarını bulmak için temel köprü olarak kullanıldı.
SIK YAPILAN HATALAR:
İşaret Hatası
- Yanlış: a^2 = b^2 + c^2 + bc bağıntısında kosinüsü +1/2 alıp açıyı 60^\circ bulmak.
- Doğru: Formüldeki -2bc \cdot \cos\hat{A} kısmındaki eksi işaretine dikkat edilmelidir. bc = -2bc \cdot \cos\hat{A} olduğunda sonuç negatif çıkar.
Bu çözümlerde anlamadığın bir adım oldu mu veya Kosinüs Teoremi ile ilgili başka bir soru tipini incelememi ister misin?