Bir ABC üçgeninde A köşesinin BC kenarına göre simetriği dış teğet çemberin merkezidir

Question Answer
1

Bir ABC üçgeninde A köşesinin BC kenarına göre simetriği dış teğet çemberin merkezidir.
Buna göre m(widehat{BAC}) kaç derecedir?
A) 60
B) 65
C) 70
D) 85
E) 90

Bir ABC üçgeninde A köşesinin BC kenarına göre simetriği dış teğet çemberin merkezidir.
Bir ABC üçgeninde A köşesinin BC kenarına göre simetriği dış teğet çemberin merkezidir.1024×740 100 KB

2

Üçgende Simetri ve Dış Teğet Çemberin Merkezi

:light_bulb: KULLANILAN FORMÜL / KURAL:

  • Bir noktanın bir doğruya göre simetriğinde; doğru, nokta ile simetriğini birleştiren doğru parçasının orta dikmesidir.
  • Bir üçgenin herhangi bir kenarına ait dış teğet çemberinin merkezi (I_a); o kenarın karşısındaki köşenin iç açıortayı ile diğer iki köşenin dış açıortaylarının kesişim noktasıdır.
  • B köşesindeki dış açının ölçüsü: 180^\circ - m(\widehat{B}) olup dış açıortayın BC kenarı ile yaptığı açı \dfrac{180^\circ - m(\widehat{B})}{2} dir.

:brain: ÇÖZÜM ADIMLARI:

Adım 1 — Simetri ve İkizkenarlık Özelliğini Belirleme
A noktasının BC kenarına göre simetriği I_a olsun. Simetri tanımı gereği, BC doğrusu [A I_a] doğru parçasının orta dikmesidir:

[A I_a] \perp [BC] \quad \text{ve} \quad |AH| = |H I_a|

Dış teğet çemberin merkezi (I_a), A açısına ait iç açıortay doğrusu üzerinde yer alır. Bir üçgende [A I_a] doğrusu hem açıortay hem de yükseklik olduğuna göre, ABC üçgeni ikizkenardır:

|AB| = |AC| \implies m(\widehat{B}) = m(\widehat{C})

Adım 2 — Simetri Açısı ile Dış Açıortay Eşitliğini Kurma
Yansıma (simetri) özelliğinden dolayı, BC doğrusu \widehat{AB I_a} açısının açıortayıdır. Dolayısıyla:

m(\widehat{ABC}) = m(\widehat{C B I_a}) = m(\widehat{B})

Aynı zamanda I_a noktası dış teğet çemberin merkezi olduğundan, [B I_a) ışını B köşesine ait dış açıortaydır. B köşesindeki dış açının ölçüsü 180^\circ - m(\widehat{B}) olduğuna göre, dış açıortayın BC ile yaptığı açı bu değerin yarısına eşittir:

m(\widehat{C B I_a}) = \frac{180^\circ - m(\widehat{B})}{2}

Adım 3 — Açıyı Hesaplama
Bu iki ifadeyi birbirine eşitleyerek m(\widehat{B}) değerini bulalım:

m(\widehat{B}) = \frac{180^\circ - m(\widehat{B})}{2}
2 \cdot m(\widehat{B}) = 180^\circ - m(\widehat{B})
3 \cdot m(\widehat{B}) = 180^\circ \implies m(\widehat{B}) = 60^\circ

Üçgen ikizkenar olduğundan m(\widehat{C}) = 60^\circ olur. Üçgenin iç açıları toplamından m(\widehat{BAC}) açısını hesaplarız:

m(\widehat{BAC}) = 180^\circ - (60^\circ + 60^\circ) = 60^\circ

━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
:white_check_mark: CEVAP: A) 60
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━

:bullseye: TEMEL KAVRAMLAR:

  • Dış Teğet Çemberin Merkezi: Bir iç açıortay ile iki dış açıortayın kesişim noktasıdır.
  • Eksenel Simetri (Yansıma): Bir şeklin doğruya göre yansımasında açılar ve uzunluklar korunur.

:warning: SIK YAPILAN HATALAR:

  • :cross_mark: Hatalı Yaklaşım: Dış açıortayın kenarla yaptığı açıyı doğrudan 180^\circ - B almak.
  • :white_check_mark: Doğru Yaklaşım: Dış açıortay, dış açıyı iki eşit parçaya böldüğü için kenar doğrusu ile yaptığı açı \dfrac{180^\circ - B}{2} olur.

İç teğet çember veya dış teğet çember merkezlerinin açı bağıntılarıyla ilgili benzer bir soru daha çözmek ister misin?