Bilgisi iki aşamalı bir kurala göre kontrol edilmektedir

YKS TYT
1
  1. Bir dijital doğrulama sisteminde, sayılarıin son kontrol
    bilgisi iki aşamalı bir kurala göre kontrol edilmektedir.
    Sayı, önce 5’li kontrol adımından geçirilir ve bu adımda
    sayının 5 ile bölümünden kalan alınır.
    Elde edilen sonuç daha sonra 3’lü kontrol adımından
    geçirilir ve bu adımda da sonucun 3 ile bölümünden
    kalan bulunur.
    Üç basamaklı K5L sayısı lçin sistemin verdiği son
    kontrol sonucu 1 olduğuna göre bu koşulu sağlayan
    kaç farklı K5L sayısı vardır?
    A) 40
    B) 36
    C) 30
    D) 27
    E) 24

Bir dijital doğrulama sisteminde, sayılarıin son kontrol bilgisi iki aşamalı bir kurala...
Bir dijital doğrulama sisteminde, sayılarıin son kontrol bilgisi iki aşamalı bir kurala...1024×768 99.7 KB

2

İki Aşamalı Bölme Kuralına Göre K5L Sayısının Alabileceği Değerler

:light_bulb: KULLANILAN KURAL VE BİLGİLER:

  • Bir tam sayının 5 ile bölümünden kalan, o sayının birler basamağındaki rakamın 5 ile bölümünden kalana eşittir.
  • Bir sayının 5 ile bölümünden kalanlar kümesi: \{0, 1, 2, 3, 4\}
  • Üç basamaklı bir sayıda yüzler basamağı 0 olamaz (K \neq 0).

:brain: ÇÖZÜM ADIMLARI:

Adım 1 — Birinci Aşamadaki Kalanı (r_1) Belirleme
K5L üç basamaklı sayısının 5 ile bölümünden kalan r_1 olsun. Bir sayının 5 ile bölümünden kalan yalnızca birler basamağı olan L rakamına bağlıdır.
r_1 değeri 0, 1, 2, 3, 4 değerlerinden birini alabilir:

  • L \in \{0, 5\} \implies r_1 = 0
  • L \in \{1, 6\} \implies r_1 = 1
  • L \in \{2, 7\} \implies r_1 = 2
  • L \in \{3, 8\} \implies r_1 = 3
  • L \in \{4, 9\} \implies r_1 = 4

Adım 2 — İkinci Aşamadaki Koşulu Sağlayan r_1 Değerlerini Bulma
Birinci adımda elde edilen r_1 sonucunun 3 ile bölümünden kalanın 1 olması istenmektedir (r_1 \equiv 1 \pmod 3).
Olası r_1 değerlerini test edelim:

  • r_1 = 0 \implies 0 \text{ sayısının } 3 \text{ ile bölümünden kalan } 0
  • r_1 = 1 \implies 1 \text{ sayısının } 3 \text{ ile bölümünden kalan } 1 :white_check_mark:
  • r_1 = 2 \implies 2 \text{ sayısının } 3 \text{ ile bölümünden kalan } 2
  • r_1 = 3 \implies 3 \text{ sayısının } 3 \text{ ile bölümünden kalan } 0
  • r_1 = 4 \implies 4 \text{ sayısının } 3 \text{ ile bölümünden kalan } 1 :white_check_mark:

Buradan r_1 değerinin 1 veya 4 olması gerektiği görülür.

Adım 3 — L Rakamının Alabileceği Değerleri Belirleme

  • r_1 = 1 olması için: L \in \{1, 6\} (2 farklı değer)
  • r_1 = 4 olması için: L \in \{4, 9\} (2 farklı değer)

Dolayısıyla L rakamı \{1, 4, 6, 9\} olmak üzere toplam 4 farklı değer alabilir.

Adım 4 — K Rakamının Alabileceği Değerleri ve Toplam Sayı Adedini Hesaplama
K5L sayısı üç basamaklı bir sayı olduğundan yüzler basamağındaki K rakamı 0 olamaz. Soruda rakamları farklı şartı bulunmamaktadır.

  • K \in \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9\} \implies 9 farklı değer

Çarpma yoluyla sayma kuralına göre oluşturulabilecek farklı K5L sayısı:

9 \times 4 = 36

━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
:white_check_mark: CEVAP: B) 36
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━

:bullseye: TEMEL KAVRAMLAR:

1. Bölünebilme Kuralları (5 ile Bölünebilme)

  • Tanım: Bir sayının birler basamağı 0 veya 5 ise sayı 5’e tam bölünür. Diğer durumlarda birler basamağının 5’e bölümünden kalan, sayının kalanını verir.
  • Bu problemde: K5L sayısının 5’e bölümünden kalan doğrudan L rakamı üzerinden belirlenmiştir.

2. Sayma Prensibi (Çarpım Kuralı)

  • Tanım: Birbirinden bağımsız iki işlemden biri m, diğeri n farklı şekilde gerçekleşiyorsa ikisi birlikte m \times n yolla gerçekleşir.
  • Bu problemde: 9 farklı K değeri ile 4 farklı L değeri çarpılarak 9 \times 4 = 36 farklı sayı bulunmuştur.

:warning: SIK YAPILAN HATALAR:

:cross_mark: Rakamları Farklı Şartı Aramak

  • Yanlış: K=5 değerini veya L=5 değerini soruda belirtilmediği halde elemek.
  • Doğru: Soruda “rakamları farklı” ifadesi geçmiyorsa K rakamı 5 dahil tüm sıfırdan farklı rakamları alabilir.
  • Neden yanlış: Eksik küme tanımı yapılarak sonucun gereksiz yere küçük bulunmasına yol açar.

:cross_mark: K Değerine 0 Vermek

  • Yanlış: K için 10 rakamın tamamını saymak (10 \times 4 = 40).
  • Doğru: Üç basamaklı sayıların en solundaki basamak sıfır olamaz, bu nedenle K yalnızca 9 farklı değer alabilir.
  • Neden yanlış: 05L ifadesi iki basamaklı olacağından basamak kuralı ihlal edilir.

Benzer mantıkta kalan ve bölünebilme kurallarını içeren yeni bir pekiştirme sorusu çözmemi ister misin?

3

@Egitim_Danismani Bana bu cevabı anlaşılır bir şekilde adım adım açıkla

4

K5L Sayısının İki Aşamalı Kontrol Kuralına Göre Çözümü

:light_bulb: KULLANILAN KURAL / FORMÜL:

  • Bir sayının 5 ile bölümünden kalan (k_1), yalnızca sayının birler basamağına bağlıdır ve k_1 \in \{0, 1, 2, 3, 4\} değerlerini alabilir.
  • İkinci adımda bu kalan (k_1), 3 ile bölünür ve kalan (k_2) elde edilir.
  • Üç basamaklı bir sayıda yüzler basamağı sıfır olamaz (K \neq 0).

:brain: ÇÖZÜM ADIMLARI:

Adım 1 — Sistemin İki Aşamasını Anlama
Sistem K5L sayısına sırasıyla şu iki işlemi uygular:

  1. K5L sayısının 5 ile bölümünden kalan bulunur (k_1).
  2. Bulunan k_1 sayısının 3 ile bölümünden kalan bulunur (k_2).
    Sistemin sonucu 1 verdiğine göre k_2 = 1 olmalıdır.

Adım 2 — İlk Adımdan Çıkabilecek Kalanları (k_1) İnceleme
Bir sayının 5 ile bölümünden kalanlar yalnızca 0, 1, 2, 3, 4 olabilir. Bu kalanların 3 ile bölümünden kalanları tek tek inceleyelim:

  • k_1 = 0 \implies 0’ın 3 ile bölümünden kalan 0
  • k_1 = 1 \implies 1’in 3 ile bölümünden kalan 1 :white_check_mark:
  • k_1 = 2 \implies 2’nin 3 ile bölümünden kalan 2
  • k_1 = 3 \implies 3’ün 3 ile bölümünden kalan 0
  • k_1 = 4 \implies 4’ün 3 ile bölümünden kalan 1 :white_check_mark:

Sonucun 1 çıkması için birinci adımdan elde edilen kalanın k_1 = 1 veya k_1 = 4 olması gerekir.

Adım 3 — L (Birler Basamağı) Rakamının Alabileceği Değerleri Bulma
K5L sayısının 5 ile bölümünden kalanın 1 veya 4 olması, doğrudan L rakamına bağlıdır:

  • 5 ile bölümünden kalanın 1 olması için: L = 1 veya L = 6
  • 5 ile bölümünden kalanın 4 olması için: L = 4 veya L = 9

Buradan L rakamı \{1, 4, 6, 9\} olmak üzere 4 farklı değer alabilir.

Adım 4 — K (Yüzler Basamağı) Rakamının Alabileceği Değerleri Bulma
K5L sayısı üç basamaklı olduğundan en baştaki rakam olan K, 0 olamaz. Soruda rakamların birbirinden farklı olması gerektiğine dair bir kısıtlama yoktur.

  • K rakamı \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9\} kümesinden 9 farklı değer alabilir.

Adım 5 — Toplam Farklı Sayı Adedini Hesaplama
Oluşturulabilecek K5L sayı adedi, K ve L için bulunan seçeneklerin çarpımı ile bulunur:

\text{Toplam Sayı} = 9 \times 4 = 36

━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
:white_check_mark: CEVAP: B) 36
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━

:bullseye: TEMEL KAVRAMLAR:

1. Kalanlar Üzerinden İşlem Yapma

  • Tanım: Bir sayı zincirleme bölme işlemlerine tabi tutuluyorsa her adımdaki olası kalan kümesi bir sonraki adımın giriş değerini oluşturur.
  • Bu problemde: İlk aşamadaki kalan kümesi \{0, 1, 2, 3, 4\}, ikinci aşamadaki 3 ile bölme işlemine girdi olarak verilmiştir.

2. Saymanın Temel İlkesi (Çarpım Yoluyla Sayma)

  • Tanım: Birbirinden bağımsız A ve B olaylarının sırasıyla a ve b farklı durumu varsa, bu iki olay birlikte a \times b farklı şekilde gerçekleşir.
  • Bu problemde: 9 farklı K seçeneği ile 4 farklı L seçeneği bağımsız olduğu için 9 \times 4 = 36 farklı durum elde edilmiştir.

:warning: SIK YAPILAN HATALAR:

:cross_mark: K Rakamına Sıfır Değerini Dahil Etmek

  • Yanlış: K için 10 rakamın tamamını alıp 10 \times 4 = 40 sonucuna ulaşmak.
  • Doğru: Üç basamaklı sayıların yüzler basamağı 0 olamayacağından K için 9 durum vardır.
  • Neden yanlış: 05L sayısı 3 basamaklı değil, 2 basamaklı bir sayıdır.

:cross_mark: Rakamları Farklı Şartını Yanlışlıkla Uygulamak

  • Yanlış: K veya L için onlar basamağında 5 olduğu gerekçesiyle 5 değerini elemek.
  • Doğru: Soru metninde “rakamları farklı” denmediği sürece aynı rakamlar tekrar kullanılabilir.
  • Neden yanlış: Gereksiz kısıtlama getirmek doğru sayı adedini eksik bulmaya yol açar.

Bu çözümde kafana takılan veya daha detaylı açıklamamı istediğin belirli bir adım var mı?