Bileşke Fonksiyonun Türevi ve f'(7) Değerinin Hesaplanması

YKS TYT
1

image
image598×343 32.6 KB

2

Bileşke Fonksiyonun Türevi ve f’(7) Değerinin Hesaplanması

:light_bulb: [KULLANILAN FORMÜL:]

Bileşke fonksiyonun türevi kuralı:

[f(g(x))]' = f'(g(x)) \cdot g'(x)

:brain: [ÇÖZÜM ADIMLARI:]

Adım 1 — Her İki Yanın Türevinin Alınması
Verilen denklemde f(x^2 + 3x + 3) = x^3 + 2x^2 + 3x + 9 eşitliğinin her iki tarafının x değişkenine göre türevini alalım:

f'(x^2 + 3x + 3) \cdot (2x + 3) = 3x^2 + 4x + 3

Adım 2 — f’(7) İçin x Değerinin Belirlenmesi
f' fonksiyonunun içinin 7 olmasını istiyoruz. Bu nedenle x^2 + 3x + 3 = 7 denklemini çözelim:

x^2 + 3x - 4 = 0
(x + 4)(x - 1) = 0

Buradan x = -4 veya x = 1 bulunur. Soruda x > 0 şartı verildiği için x = 1 değerini kullanmalıyız.

Adım 3 — x = 1 Değerini Türev Denkleminde Yerine Yazma
Bulduğumuz x = 1 değerini türevli denklemde yerine koyarak f'(7) değerine ulaşalım:

f'(1^2 + 3(1) + 3) \cdot (2(1) + 3) = 3(1)^2 + 4(1) + 3
f'(7) \cdot 5 = 3 + 4 + 3
f'(7) \cdot 5 = 10

Adım 4 — Sonucu Hesaplama
Eşitliğin her iki tarafını 5’e bölerek sonucu bulalım:

f'(7) = \frac{10}{5} = 2

━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
:white_check_mark: [CEVAP:] f'(7) = 2
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━

:bullseye: [TEMEL KAVRAMLAR:]

1. Bileşke Türev (Zincir Kuralı)

  • [Tanım:] Bir fonksiyonun içindeki ifadenin türeviyle, dıştaki fonksiyonun türevinin çarpılmasıdır.
  • [Bu problemde:] f fonksiyonunun içindeki x^2 + 3x + 3 ifadesinin türevi olan 2x+3 ile dış türevi çarptık.

:warning: [SIK YAPILAN HATALAR:]

:cross_mark: İçin Türevini Unutmak

  • [Yanlış:] Sadece sağ tarafın türevini alıp f'(7)'ye eşitlemek.
  • [Doğru:] Sol tarafın türevini alırken g'(x) çarpanını (için türevini) mutlaka eklemek.
  • [Neden Yanlış:] Bileşke fonksiyonlarda iç fonksiyonun değişim hızı, toplam türev sonucunu doğrudan etkiler.

Bu çözümde anlamadığın bir adım var mı veya benzer bir türev sorusu daha çözmemi ister misin?