Bileşke Fonksiyon (fog)(x) ve Ters Fonksiyon f⁻¹(x) Bulma Kuralları

YKS TYT YKS Matematik
1

f(x) = 2x + 3 ve g(x) = x - 5 ise (fog)(x) nasıl hesaplanır? Doğrusal fonksiyonun ve kesirli fonksiyonun tersi pratik olarak nasıl alınır?

2

[Özet Yanıt]

  • Bileşke Fonksiyon: (f \circ g)(x) = f(g(x)) demektir; yani f fonksiyonundaki her x yerine g(x) ifadesi yazılır: f(x-5) = 2(x-5) + 3 = \mathbf{2x - 7}.
  • Ters Fonksiyon Pratik Kuralları:
    • f(x) = ax + b \implies \mathbf{f^{-1}(x) = \frac{x - b}{a}}
    • f(x) = \frac{ax + b}{cx + d} \implies \mathbf{f^{-1}(x) = \frac{-dx + b}{cx - a}} (Yukarıdaki x’in katsayısı ile aşağıdaki sabitin hem yerleri hem işaretleri değişir!).
3

Bileşke Fonksiyon Hesabı ve Pratik Ters Fonksiyon Kuralları

:light_bulb: KULLANILAN FORMÜL / KURAL:

  1. Bileşke Fonksiyon: $$(f \circ g)(x) = f(g(x))$$
  2. Doğrusal Fonksiyonun Tersi: $$f(x) = ax + b \implies f^{-1}(x) = \frac{x - b}{a}$$
  3. Kesirli (Rasyonel) Fonksiyonun Tersi: $$f(x) = \frac{ax + b}{cx + d} \implies f^{-1}(x) = \frac{-dx + b}{cx - a}$$

BÖLÜM 1: (f \circ g)(x) Bileşkesinin Hesaplanması

:brain: ÇÖZÜM ADIMLARI:

Adım 1 — Bileşke Tanımını Uygulama
Bileşke fonksiyon işleminde sağdaki fonksiyon, soldaki fonksiyonda x değişkeni yerine yazılır.

(f \circ g)(x) = f(g(x))

Adım 2 — Fonksiyonları Yerine Koyma ve Düzenleme
g(x) = x - 5 olduğundan, f(x) = 2x + 3 denkleminde x gördüğümüz her yere (x - 5) yazarız:

(f \circ g)(x) = 2(x - 5) + 3

Parantezi dağıtıp benzer terimleri toplarız:

(f \circ g)(x) = 2x - 10 + 3 = 2x - 7

━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
:white_check_mark: CEVAP:

(f \circ g)(x) = 2x - 7

━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━

BÖLÜM 2: Pratik Ters Fonksiyon Kuralları

1. Doğrusal Fonksiyonların Tersi: f(x) = ax + b

  • Mantık: x’e uygulanan işlemlerin ters sırayla ve ters işlem olarak geri alınmasıdır (x sayısı a ile çarpılıp b eklenmişse; tersinde b çıkarılıp a’ya bölünür).
  • Kural:
    f(x) = ax + b \implies f^{-1}(x) = \frac{x - b}{a}
  • Örnek:
    f(x) = 3x + 7 \implies f^{-1}(x) = \frac{x - 7}{3}
    g(x) = 4x - 5 \implies g^{-1}(x) = \frac{x + 5}{4}

2. Kesirli (Rasyonel) Fonksiyonların Tersi: f(x) = \frac{ax + b}{cx + d}

  • Mantık: Paydaki x’in katsayısı (a) ile paydadaki sabit terim (d) hem yer hem de işaret değiştirir. Diğer terimlere (b ve cx) kesinlikle dokunulmaz.
  • Kural:
    f(x) = \frac{\mathbf{a}x + b}{cx + \mathbf{d}} \implies f^{-1}(x) = \frac{-\mathbf{d}x + b}{cx - \mathbf{a}}
  • Örnek:
    f(x) = \frac{2x + 3}{5x - 4} \implies f^{-1}(x) = \frac{4x + 3}{5x - 2}
    (Paydaki +2 aşağıya -2 olarak, paydadaki -4 yukarıya +4 olarak geçti).

:bullseye: TEMEL KAVRAMLAR:

  • Bileşke Fonksiyon (f \circ g): Fonksiyonların ardışık uygulanmasıdır; g fonksiyonunun çıktısı, f fonksiyonunun girdisi olur.
  • Ters Fonksiyon (f^{-1}): Bir fonksiyonun bağımsız değişkeni ile bağımlı değişkeninin yerini değiştirerek işlemi başa saran fonksiyondur (f(a) = b \iff f^{-1}(b) = a).

:warning: SIK YAPILAN HATALAR:

  • :cross_mark: Hatalı Yaklaşım: (f \circ g)(x) ifadesini f(x) \cdot g(x) ile karıştırıp iki fonksiyonu birbiriyle çarpmak.
  • :white_check_mark: Doğru Yaklaşım: (f \circ g)(x), çarpma işlemi değil; f fonksiyonunun içine g(x) ifadesini yerleştirmektir (f(g(x))).
  • :cross_mark: Hatalı Yaklaşım: Kesirli ters alırken paydadaki x’in katsayısını veya paydaki sabiti de değiştirmek.
  • :white_check_mark: Doğru Yaklaşım: Yalnızca paydaki x’in katsayısı (a) ile paydadaki sabit sayı (d) çaprazlama yer ve işaret değiştirir.

Bu kuralları pekiştirmek için (g \circ f)(x) bileşkesini veya kesirli bir fonksiyonun tersini birlikte bulmak ister misin?