Bilardo oyununda topa düz bir şekilde vuruş yapıldığında, top banta (masanın kenarına) çarptığı açıyla yoluna devam eder.
Şekildeki gibi özel olarak hazırlanmış bilardo masasında, K noktasından [BC] kenarına paralel bir vuruş yapılıyor.
K \in [AC], |AK| = \sqrt{3} br ve |KC| = 5\sqrt{3} br’dir.
Topa K noktasından vurulduktan sonra top tekrar K noktasına ilk kez geldiğinde topun aldığı yol kaç birim olur?
Dik Üçgende Yansıma ve Özel Açılı Üçgenler Analizi
KULLANILAN FORMÜL / KURAL: Işığın ve bilardo topunun düzlem yüzeyden yansımasında geliş açısı gidiş açısına eşittir. Bir doğruya dik (90^\circ) çarpan bir hareketli, kendi izlediği doğrultu üzerinden geriye yansır. 30^\circ-60^\circ-90^\circ özel dik üçgeninde 30^\circ’nin karşısındaki kenar hipotenüsün yarısı, 60^\circ’nin karşısındaki kenar ise 30^\circ’nin karşısındakinin \sqrt{3} katıdır.
ÇÖZÜM ADIMLARI
Adım 1 — ABC Dik Üçgeninin Kenar Uzunluklarının Belirlenmesi
m(\widehat{A}) = 90^\circ ve m(\widehat{C}) = 30^\circ olduğundan m(\widehat{B}) = 60^\circ olur.
Verilen |AK| = \sqrt{3}\text{ br} ve |KC| = 5\sqrt{3}\text{ br} değerlerinden:
|AC| = |AK| + |KC| = \sqrt{3} + 5\sqrt{3} = 6\sqrt{3}\text{ br}
60^\circ’lik açının karşısındaki kenar |AC| = 6\sqrt{3}\text{ br} olduğuna göre, 30^\circ’lik açının karşısındaki kenar ve hipotenüs:
|AB| = \frac{6\sqrt{3}}{\sqrt{3}} = 6\text{ br}, \quad |BC| = 2 \cdot |AB| = 12\text{ br}
Adım 2 — Topun İlk Hareketi (K \to L)
Top K noktasından [BC]'ye paralel atıldığından [AB] kenarını L noktasında kessin. KL \parallel BC olduğundan AKL bir 30^\circ-60^\circ-90^\circ dik üçgenidir (m(\widehat{AKL}) = 30^\circ, m(\widehat{ALK}) = 60^\circ):
|AK| = \sqrt{3}\text{ br} \implies |AL| = \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}} = 1\text{ br}, \quad |KL| = 2 \cdot 1 = 2\text{ br}
Adım 3 — [AB] Kenarından Yansıma (L \to M)
Top [AB] bandına m(\widehat{ALK}) = 60^\circ açıyla çarptığından, aynı açıyla yansıyarak [BC] üzerindeki M noktasına doğru ilerler (m(\widehat{BLM}) = 60^\circ).
BLM üçgeninde m(\widehat{B}) = 60^\circ ve m(\widehat{BLM}) = 60^\circ olduğundan, bu üçgen bir eşkenar üçgendir:
|BL| = |AB| - |AL| = 6 - 1 = 5\text{ br}
|LM| = |BL| = 5\text{ br}, \quad |BM| = 5\text{ br}
Adım 4 — [BC] Kenarından Yansıma ve Dik Çarpma (M \to N)
Top [BC] bandına m(\widehat{BML}) = 60^\circ açıyla çarptığı için m(\widehat{CMN}) = 60^\circ açısıyla [AC] kenarındaki N noktasına doğru yansır.
MNC üçgeninde m(\widehat{C}) = 30^\circ ve m(\widehat{CMN}) = 60^\circ olduğundan:
m(\widehat{MNC}) = 180^\circ - (30^\circ + 60^\circ) = 90^\circ
|MC| = |BC| - |BM| = 12 - 5 = 7\text{ br} olur. MNC dik üçgeninde 30^\circ’nin karşısındaki kenar:
|MN| = \frac{|MC|}{2} = \frac{7}{2} = 3{,}5\text{ br}
Adım 5 — Topun Geri Dönüşü ve Toplam Yol Hesabı
Top [AC] bandına 90^\circ (dik) çarptığı için aynı yolu ters yönde birebir geri kateder (N \to M \to L \to K):
\text{Gidiş Yolu} = |KL| + |LM| + |MN| = 2 + 5 + 3{,}5 = 10{,}5\text{ br}
\text{Toplam Yol} = 2 \times 10{,}5 = 21\text{ br}
CEVAP: 21 (Topun tekrar K noktasına ilk kez gelene kadar aldığı toplam yol 21\text{ birimdir}.)
SINAV NOTU / PÜF NOKTASI: Bilardo ve yansıma problemlerinde bir banta 90^\circ (dik) çarpan hareketli, sistemi ters yönde birebir kat ederek başladığı noktaya geri döner. Bu soruda MNC açısının 90^\circ geldiğini görmek, yeni yansımalar aramadan çözümün gidiş-dönüş simetrisinden ibaret olduğunu gösteren kilit adımdır.