Boyutları 15 cm ve 10 cm olan Şekil l’deki dikdörtoen
biçiminde bir karton, K köşesine eşit uzaklıkta olan
A ve A’ noktalarını birleştiren AA’ doğrusu boyunca
Şekil il’deki gibi katlandiğında K köşesi dikdörtgenin
köşegeni üzerindekiK’ noktasına geliyor.
Şekil
Şekil ll
m(LK’A)=a olduğuna göre, tana kaçtır?
A)B) D) E)
Katlama Sonucu Oluşan Açının Trigonometrik Değerini Bulma
KULLANILAN FORMÜL VE KURALLAR:
- Katlama Simetrisi: Katlama çizgisi bir simetri eksenidir. Katlanan şeklin kenar uzunlukları ve açıları korunur.
- Doğru Denklemi: Eğimi m ve bir noktası (x_0, y_0) olan doğrunun denklemi: y - y_0 = m(x - x_0)
- Tanjant Tanımı: Dik üçgende \tan\alpha = \frac{\text{Karşı Dik Kenar}}{\text{Komşu Dik Kenar}}
ÇÖZÜM ADIMLARI:
Adım 1 — Katlama Geometrisini ve Şeklin Özelliklerini Belirleme
- |KA| = |KA'| = x olarak verilmiştir.
- Dikdörtgenin K köşesi 90^\circ olduğundan katlama sonrasında:
- |KA| = |K'A| = x
- |KA'| = |K'A'| = x
- m(\widehat{AK'A'}) = m(\widehat{AKA'}) = 90^\circ olur.
- Dört kenarı birbirine eşit (x) ve bir açısı 90^\circ olan KAK'A' dörtgeni bir karedir.
Adım 2 — Analitik Düzlemde Koordinatları Tanımlama
- K noktasını orijin (0, 0) kabul edelim:
- N noktası: (-15, 0)
- L noktası: (0, 10)
- A noktası: (-x, 0)
- A' noktası: (0, x)
- KAK'A' bir kare olduğundan K' noktasının koordinatları:K' = (-x, x)
Adım 3 — [NL] Köşegen Doğrusunun Denklemini Yazma ve x Değerini Bulma
- N(-15, 0) ve L(0, 10) noktalarından geçen doğrunun eğimi:m_{NL} = \frac{10 - 0}{0 - (-15)} = \frac{10}{15} = \frac{2}{3}
- Doğru denklemi:y = \frac{2}{3}x_{\text{koordinat}} + 10
- K'(-x, x) noktası bu doğru üzerinde yer aldığından koordinatları denklemde yerine yazalım:x = \frac{2}{3}(-x) + 10x + \frac{2}{3}x = 10\frac{5x}{3} = 10 \implies 5x = 30 \implies x = 6\text{ cm}
Adım 4 — \triangle K'A'L Üçgeninde \tan\alpha Değerini Hesaplama
- Bulunan x = 6\text{ cm} değerine göre noktaların koordinatları:
- K' = (-6, 6)
- A' = (0, 6)
- L = (0, 10)
- K' ve A' noktalarının ordinatları eşit (y = 6) olduğundan [K'A'] yatay bir doğrudur.
- A' ve L noktalarının apsisleri eşit (x = 0) olduğundan [A'L] düşey bir doğrudur.
- Dolayısıyla m(\widehat{K'A'L}) = 90^\circ olur ve \triangle K'A'L bir dik üçgendir:
- Karşı dik kenar: |A'L| = 10 - 6 = 4\text{ cm}
- Komşu dik kenar: |K'A'| = 0 - (-6) = 6\text{ cm}
- Buradan \tan\alpha değeri:\tan\alpha = \frac{|A'L|}{|K'A'|} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
CEVAP: A şıkkı (\frac{2}{3})
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
TEMEL KAVRAMLAR:
1. Katlama Simetrisi
- Tanım: Bir geometrik şekil doğru boyunca katlandığında açılar ve kenar uzunlukları değişmez.
- Bu problemde: K köşesi katlandığında K' noktasına gelerek |KA| = |K'A| ve |KA'| = |K'A'| eşitlikleriyle bir kare oluşturmuştur.
2. Doğrunun Eğimi ve Analitik Çözüm
- Tanım: İki noktası bilinen doğrunun eğimi dikey değişimin yatay değişime oranıdır.
- Bu problemde: Köşegen doğrusunun analitik denklemi kurularak katlanan noktanın koordinatları doğrudan bulunmuştur.
SIK YAPILAN HATALAR:
K' noktasının koordinatlarını doğrudan köşegenin orta noktası sanmak
- Yanlış: K' noktasını köşegenin tam ortası kabul edip doğrudan oran yazmak.
- Doğru: Katlama kurallarına göre K' noktasının koordinatlarını doğru denklemine yerleştirip x uzunluğunu hesaplamak.
- Neden yanlış: Katlama noktası köşegenin tam orta noktasına gelmek zorunda değildir; katlama çizgisine olan uzaklığına bağlıdır.
Benzer katlama ve analitik geometri sorularıyla pratik yapmak ister misin?