Beste odasının kapısını bir miktar açtığında kapı, dikdörtgen biçimindeki yatağın köşesi olan C noktasına Şekil 2 'deki gibi değmektedir. Beste, kapısının kapanmaması için belirli bir uzunluktaki tahta parçasını kapıya dik olacak biçimde B noktasından C noktasına Şekil 2’deki gibi yerleştirmiştir.
Buna göre, tahta parçasının uzunluğu kaç cm dir?
Dik Üçgende Öklid Bağıntısı ile Uzunluk Hesabı
KULLANILAN FORMÜL / KURAL:
Bir dik üçgende hipotenüse ait yükseklik çizildiğinde Öklid Teoremi geçerlidir:
h^2 = p \cdot k \quad \text{ve} \quad b = \sqrt{h^2 + k^2}
Burada h hipotenüse inen dikme uzunluğu, p ve k ise hipotenüs üzerinde ayrılan parçalardır.
ÇÖZÜM ADIMLARI
Adım 1 — Koordinat ve Uzunlukların Belirlenmesi
Şekil 1’deki verilere göre duvar çizgisi yatay zemin kabul edildiğinde:
- A noktasının sol duvara olan uzaklığı: 52\text{ cm}
- Yatağın C köşesinin sol duvara olan uzaklığı: 100\text{ cm}
- Yatağın alt kenarının duvara olan dik uzaklığı: 36\text{ cm}
C noktasından duvar çizgisine (AB doğrusuna) bir dikme indirilip dikme ayağına H diyelim:
h = |CH| = 36\text{ cm}
p = |AH| = 100 - 52 = 48\text{ cm}
Adım 2 — Öklid Bağıntısı ile |HB| Uzunluğunun Bulunması
Şekil 2’de tahta parçası (BC), kapı doğrultusuna (AC) dik yerleştirildiğinden m(\widehat{ACB}) = 90^\circ olur. Dolayısıyla ABC bir dik üçgendir ve [CH] \perp [AB] olduğundan Öklid bağıntısı uygulanır:
|CH|^2 = |AH| \cdot |HB|
36^2 = 48 \cdot |HB|
1296 = 48 \cdot |HB| \implies |HB| = \frac{1296}{48} = 27\text{ cm}
Adım 3 — Tahta Parçasının (|BC|) Uzunluğunun Hesaplanması
Oluşan CHB dik üçgeninde Pisagor bağıntısı (3-4-5 özel üçgeninin 9 katı) uygulanır:
|BC| = \sqrt{|CH|^2 + |HB|^2} = \sqrt{36^2 + 27^2} = \sqrt{9^2(4^2 + 3^2)} = 9 \times 5 = 45\text{ cm}
CEVAP: 45\text{ cm} (Tahta parçasının uzunluğu |BC| = 45\text{ cm})
SINAV NOTU / PÜF NOKTASI:
Yatay ve düşey referans çizgileri verildiğinde, dik köşeden tabana dikme indirerek şekli h, p, k parçalarına ayırmak ve 3-4-5 üçgeninin katlarını (27-36-45) görmek soruyu saniyeler içinde çözdürür.