bir beşgenin dış açıları 20’şer derece artarak gitmektedir.buna göre bu beşgenin en küçük iç açısı kaç derecedir
bir beşgenin dış açıları 20’şer derece artarak gitmektedir.buna göre bu beşgenin en küçük iç açısı kaç derecedir
Çözüm
Beşgenin iç ve dış açılarını çözerken şu bilgileri kullanmalıyız:
1. Çokgenlerin Dış Açıları
Bir çokgenin dış açıları toplamı her zaman 360 derecedir. Bu bilgi dış açıların toplamını kullanmamız gerektiği anlamına gelir.
2. Formül: İç ve Dış Açı İlişkisi
Her bir köşedeki bir iç açı ve bir dış açının toplamı her zaman 180 derecedir. Yani:
\text{İç Açının Ölçüsü} = 180^\circ - \text{Dış Açının Ölçüsü}
3. Dış Açıların Artışı
Soruda dış açıların 20’şer derece artarak gittiği belirtilmiş. Bu durumda açıların artışını şöyle ifade edebiliriz:
Dış açıların ölçüleri sırasıyla:
- x
- x + 20
- x + 40
- x + 60
- x + 80
Bu açıların toplamı 360 derece olduğu için:
x + (x + 20) + (x + 40) + (x + 60) + (x + 80) = 360
Adım Adım Hesaplama
Adım 1: Dış Açının Ölçülerini Bulma
5x + 200 = 360
5x = 160
x = 32
Bu durumda, dış açılar sırasıyla:
- 32^\circ
- 52^\circ
- 72^\circ
- 92^\circ
- 112^\circ
Adım 2: En Küçük İç Açıyı Bulma
İç açılar 180^\circ - \text{Dış Açılar} formülüyle bulunur:
| Dış Açı (°) | İç Açı (°) |
|---|---|
| 32^\circ | 180^\circ - 32^\circ = 148^\circ |
| 52^\circ | 180^\circ - 52^\circ = 128^\circ |
| 72^\circ | 180^\circ - 72^\circ = 108^\circ |
| 92^\circ | 180^\circ - 92^\circ = 88^\circ |
| 112^\circ | 180^\circ - 112^\circ = 68^\circ |
Bu tabloya göre en küçük iç açı 68 derecedir.
Sonuç
Bir beşgenin dış açıları 20’şer derece artarak gidiyorsa, bu beşgenin en küçük iç açısı 68 derecedir.
| Ana Bilgiler | Sonuçlar |
|---|---|
| Beşgen toplam dış açıları | 360^\circ |
| Dış Açılar | 32, 52, 72, 92, 112 |
| İç Açılar | 148, 128, 108, 88, 68 |
| En Küçük İç Açı | 68^\circ |
Bir beşgenin dış açıları 20’şer derece artarak gitmektedir. Buna göre bu beşgenin en küçük iç açısı kaç derecedir?
Table of Contents
- Problem Tanımı
- Dış Açılar ve Toplamları
- Aritmetik Dizi Oluşturma
- İç Açıların Hesaplanması
- Örnek Tablo ile Gösterim
- Sonuç ve Özet
1. Problem Tanımı
Bu problemde, beşgenin dış açılarının 20’şer derece artan bir sıralamayla verildiği söylenmektedir. Beşgende toplam 5 adet dış açı vardır. Sorumuz, bu dış açıların farklı büyüklüklerini inceleyerek en küçük iç açının kaç derece olduğunu bulmak istemektedir.
2. Dış Açılar ve Toplamları
Herhangi bir konveks çokgen için dış açıların toplamı her zaman 360°’dir. Beşgen de bir çokgen olduğundan, biz de şu bağıntıyı kullanırız:
$
\text{Toplam Dış Açı} = 360^\circ
$
3. Aritmetik Dizi Oluşturma
Verilere göre dış açılar 20’şer derece farkla artıyor. Örneğin dış açıları küçükten büyüğe doğru sıralarsak:
- İlk dış açı: a_1
- İkinci dış açı: a_1 + 20
- Üçüncü dış açı: a_1 + 40
- Dördüncü dış açı: a_1 + 60
- Beşinci dış açı: a_1 + 80
Bu beş dış açının toplamı 360° olmak zorundadır:
$
(a_1) + (a_1 + 20) + (a_1 + 40) + (a_1 + 60) + (a_1 + 80) = 360
$
Toplamı sadeleştirelim:
$
5a_1 + (20 + 40 + 60 + 80) = 360
$
$
5a_1 + 200 = 360
$
$
5a_1 = 160
$
$
a_1 = 32
$
Böylece dış açıların değeri tek tek şu şekilde olur:
-
- dış açı = 32°
-
- dış açı = 52°
-
- dış açı = 72°
-
- dış açı = 92°
-
- dış açı = 112°
4. İç Açıların Hesaplanması
Bir çokgende iç açı ile dış açı arasındaki ilişki \text{İç Açı} = 180^\circ - \text{Dış Açı} şeklindedir. Her dış açı için karşılık gelen iç açılar aşağıdaki gibidir:
-
- iç açı = 180^\circ - 32^\circ = 148^\circ
-
- iç açı = 180^\circ - 52^\circ = 128^\circ
-
- iç açı = 180^\circ - 72^\circ = 108^\circ
-
- iç açı = 180^\circ - 92^\circ = 88^\circ
-
- iç açı = 180^\circ - 112^\circ = 68^\circ
En küçük iç açı bu listede 68° çıkmaktadır.
5. Örnek Tablo ile Gösterim
Aşağıda, bulunan dış açıların ve bunlara karşılık gelen iç açıların gösterildiği bir tablo verilmiştir:
| Sıra | Dış Açı (°) | İç Açı (°) |
|---|---|---|
| 1 | 32 | 180 – 32 = 148 |
| 2 | 52 | 180 – 52 = 128 |
| 3 | 72 | 180 – 72 = 108 |
| 4 | 92 | 180 – 92 = 88 |
| 5 | 112 | 180 – 112 = 68 |
Tabloda da görüldüğü üzere, en küçük iç açı 68° olarak bulunmuştur.
6. Sonuç ve Özet
- Bir beşgenin tüm dış açıları toplamı daima 360°’dir.
- Dış açıların 20’şer derece farkla artması, bir aritmetik dizi oluşturmaktadır.
- Aritmetik dizinin ilk terimini a_1 = 32^\circ olarak bulduk ve diğer terimler de 20’şer artmıştır.
- Her bir dış açı için iç açı değeri 180^\circ - (\text{dış açı}) formülüyle hesaplanır.
- Bu beşgenin en küçük iç açısı 68° bulunmuştur.
Kısa Özet: Dış açıları bir aritmetik dizi halinde 32°, 52°, 72°, 92°, 112° olarak belirledik. Toplamları 360°’dir. İç açıları da sırasıyla 148°, 128°, 108°, 88°, 68° olur. Bu beşgendeki en küçük iç açı 68°’dir.