Beş çocuk dairesel bir zeminde sıralanıp ellerindeki bir topu birbirlerine atarak bir oyun oynamaktadır. | 1794252780044

Question Answer
1

Beş çocuk dairesel bir zeminde sıralanıp ellerindeki bir topu birbirlerine atarak bir oyun oynamaktadır.
Oyunun kuralları şu şekildedir:
• Elinde top olan çocuk, topu hemen sağındaki ve hemen solundaki çocuklar dışındaki kişilerden birine atmalıdır.
• Kendisine top atılan çocuk, topu aldığı kişiye hemen geri atamaz.
Oyun, Eda’nın topu Can’a atmasıyla başladığına göre, 94. atışın sonunda top hangi çocukta olur?
A) Ali
B) Burcu
C) Can
D) Deniz
E) Eda

Beş çocuk dairesel bir zeminde sıralanıp ellerindeki bir topu birbirlerine atarak bir...
Beş çocuk dairesel bir zeminde sıralanıp ellerindeki bir topu birbirlerine atarak bir...800×927 196 KB

2

Periyodik Durum Problemleri ve Modüler Aritmetik

:light_bulb: KULLANILAN FORMÜL / KURAL: Dairesel dizilimde her çocuğun komşuları ve topu aldığı kişi hariç tutulduğunda geriye yalnızca 1 geçerli atış seçeneği kalır. Bu durum ardışık atışların belirli bir periyotla tekrarlamasını sağlar; periyot belirlendikten sonra istenen adım sayısı modüler aritmetik ile bulunur:

\text{Atış Sayısı} \equiv k \pmod T

:brain: ÇÖZÜM ADIMLARI

Adım 1 — Dairesel Dizilimin ve Geçerli Hamlelerin Belirlenmesi
Görseldeki 5 çocuğun dairesel sırası saat yönünde: Eda — Deniz — Ali — Can — Burcu şeklindedir. Toplam 5 kişi olduğundan, herhangi bir çocuğun kendisi ve 2 komşusu dışındaki atabileceği kişi sayısı 5 - 3 = 2 kişidir. Ancak topu aldığı kişiye geri atamayacağı için atış yapabileceği tek bir kişi kalır.

Adım 2 — Atış Sırasının (Periyodun) Hesaplanması
Oyun, Eda’nın topu Can’a atmasıyla başlar:

  • 1. atış sonunda: Can (Can’ın komşuları Ali ve Burcu’dur; Eda’dan aldığı için topu mecburen Deniz’e atar).
  • 2. atış sonunda: Deniz (Deniz’in komşuları Eda ve Ali’dir; Can’dan aldığı için topu mecburen Burcu’ya atar).
  • 3. atış sonunda: Burcu (Burcu’nun komşuları Can ve Eda’dır; Deniz’den aldığı için topu mecburen Ali’ye atar).
  • 4. atış sonunda: Ali (Ali’nin komşuları Deniz ve Can’dır; Burcu’dan aldığı için topu mecburen Eda’ya atar).
  • 5. atış sonunda: Eda (Eda’nın komşuları Burcu ve Deniz’dir; Ali’den aldığı için topu mecburen Can’a atar).

Bu düzen her 5 atışta bir başa dönmektedir (Periyot T = 5).

Adım 3 — 94. Atışın Bulunması
94 sayısının periyot olan 5’e bölümünden kalan hesaplanır:

94 = 18 \times 5 + 4

Kalan 4 olduğuna göre, 94. atışın sonundaki durum 4. atışın sonundaki durumla aynıdır. 4. atışın sonunda top Ali’dedir.

:white_check_mark: CEVAP: A) Ali

:warning: SINAV NOTU / PÜF NOKTASI: 5 elemanlı bir çemberde “sağ, sol ve geldiği yön yasak” kuralı, her adımda seçim şansını 1’e indirgeyerek oyunu deterministik (tek ihtimalli) bir döngüye sokar. Mod alırken kalanın doğrudan döngüdeki sıra numarasını verdiğini unutmayınız.