Beş çocuk dairesel bir zeminde sıralanıp ellerindeki bir topu birbirlerine atarak bir oyun oynamaktadır. | 1794250316120

YKS TYT
1

Beş çocuk dairesel bir zeminde sıralanıp ellerindeki bir topu birbirlerine atarak bir oyun oynamaktadır.
Oyunun kuralları şu şekildedir:

  • Elinde top olan çocuk, topu hemen sağındaki ve hemen solundaki çocuklar dışındaki kişilerden birine atmalıdır.
  • Kendisine top atılan çocuk, topu aldığı kişiye hemen geri atamaz.
    Oyun, Eda’nın topu Can’a atmasıyla başladığına göre, 94. atışın sonunda top hangi çocukta olur?
    A) Ali
    B) Burcu
    C) Can
    D) Deniz
    E) Eda

Beş çocuk dairesel bir zeminde sıralanıp ellerindeki bir topu birbirlerine atarak bir...
Beş çocuk dairesel bir zeminde sıralanıp ellerindeki bir topu birbirlerine atarak bir...1024×768 183 KB

2

Dairesel Sıralama ve Periyodik Tekrar Problemi

:light_bulb: KULLANILAN FORMÜL / KURAL: Dairesel düzende n kişinin bulunduğu bir oyunda komşuluk kısıtlamaları ve geri atamama kuralı tek bir zorunlu rota oluşturur; tekrarlayan hareketler modüler aritmetik (periyot mantığı) ile çözülür.

:brain: ÇÖZÜM ADIMLARI

Adım 1 — Çocukların Dairesel Dizilimi ve Seçenek Sayısı
Görseldeki çocuklar saat yönünde Eda — Deniz — Ali — Can — Burcu sırasıyla dizilmiştir. Toplam 5 kişi olduğundan, her bir çocuğun sağında ve solunda birer komşusu vardır:

  • Bir çocuk kendisi (1 kişi) ve hemen yanındaki iki komşusu (2 kişi) hariç sadece geriye kalan 5 - 3 = 2 kişiye top atabilir.
  • Topu atan kişiye hemen geri atılamayacağı kuralı eklendiğinde, her atışta topu alan çocuğun atabileceği yalnızca 1 kişi kalır. Dolayısıyla oyun tek bir zorunlu döngüyü takip eder.

Adım 2 — Atış Sırasını ve Döngüyü Belirleme
Oyun, Eda’nın topu Can’a atmasıyla başlar:

  • 1. Atış: Eda \rightarrow Can (Can’ın atabileceği kişiler Eda ve Deniz’dir; Eda’dan aldığı için Deniz’e atmak zorundadır)
  • 2. Atış: Can \rightarrow Deniz (Deniz’in alternatifleri Can ve Burcu’dur; Burcu’ya atmak zorundadır)
  • 3. Atış: Deniz \rightarrow Burcu (Burcu’nun alternatifleri Deniz ve Ali’dir; Ali’ye atmak zorundadır)
  • 4. Atış: Burcu \rightarrow Ali (Ali’nin alternatifleri Burcu ve Eda’dır; Eda’ya atmak zorundadır)
  • 5. Atış: Ali \rightarrow Eda (Eda’nın alternatifleri Ali ve Can’dır; Can’a atmak zorundadır)
  • 6. Atış: Eda \rightarrow Can

Oyun her 5 atışta bir aynı döngüye girmektedir (Periyot = 5).

Adım 3 — 94. Atışın Hesaplanması
94 sayısının periyot olan 5’e bölümünden kalanı bulalım:

94 = 5 \times 18 + 4

Kalan 4 olduğuna göre, 94. atışın sonundaki durum 4. atışın sonundaki durumla özdeştir:

\text{Kalan } 4 \implies \text{Ali}

:white_check_mark: CEVAP: A) Ali

:warning: SINAV NOTU / PÜF NOKTASI: 5 kişilik dairesel problemlerde bir kişinin 2 komşusu çıkarıldığında geriye 2 kişi kalır. Önceki atıcı elendiğinde seçim hakkı 1’e düşer ve sistem deterministik (tek ihtimalli) bir periyoda kavuşur. Doğrudan periyodu bulup kalan üzerinden gitmek zaman kazandırır.