Beş basamaklı ABABC doğal sayısının 1010 bölümünden elde edilen bölüm iki basamaklı A5 sayısı, kalan ise C olmaktadır.
Buna göre, A + B + C toplamının en küçük değeri kaçtır?
A) 5
B) 6
C) 7
D) 8
E) 9
Basamak Analizi ve Bölme Algoritması
KULLANILAN FORMÜL / KURAL: Bölme algoritmasına göre \text{Bölünen} = \text{Bölen} \times \text{Bölüm} + \text{Kalan} ve 0 \le \text{Kalan} < \text{Bölen} şartı sağlanmalıdır. Çok basamaklı sayılarda basamak çözümlemesi yapılarak ortak çarpanlar sadeleştirilir.
ÇÖZÜM ADIMLARI
Adım 1 — Bölme Bağıntısını Kurma ve Çözümleme
Verilen bölme işleminde bölünen ABABC, bölen 1010, bölüm iki basamaklı A5 ve kalan C’dir. Sayıları basamak değerlerine göre açalım:
ABABC = 10000A + 1000B + 100A + 10B + C = 10100A + 1010B + C
İki basamaklı A5 sayısı ise 10A + 5 olarak ifade edilir.
Adım 2 — Eşitliği Sadeleştirme ve B Değerini Bulma
Bölme bağıntısını yazıp denklem kuralım:
10100A + 1010B + C = 1010 \cdot (10A + 5) + C
10100A + 1010B + C = 10100A + 5050 + C
Eşitliğin her iki tarafından 10100A ve C terimleri birbirini götürür:
1010B = 5050 \implies B = 5
Adım 3 — En Küçük Değer İçin Rakamları Belirleme
A + B + C toplamının en küçük olması için:
- ABABC beş basamaklı bir sayı olduğundan A \neq 0 olmalıdır. Dolayısıyla A’nın alabileceği en küçük değer A = 1’dir.
- B değeri sabit olup B = 5’tir.
- Kalan C bir rakamdır ve 0 \le C < 1010 kuralına uymalıdır. Bu durumda C’nin alabileceği en küçük değer C = 0’dır.
A + B + C = 1 + 5 + 0 = 6
CEVAP: B) 6 ((A+B+C)_{\min} = 6)
SINAV NOTU / PÜF NOKTASI: Beş basamaklı bir sayının en büyük basamağındaki rakam sıfır olamaz (A \ge 1), ancak kalan terimi bir doğal sayı olduğundan sıfır değerini alabilir (C \ge 0). Bu durum A+B+C toplamının minimum değerini belirlemede kritik rol oynar.