Beş basamaklı 4a3b7 sayısının 36 ile bölümünden kalan 17 olduğuna göre, a + b toplamının en büyük değeri kaçtır?
A) 16
B) 12
C) 10
D) 5
E) 3
Bölünebilme Kuralları ve Kalan Bulma
KULLANILAN FORMÜL / KURAL: Aralarında asal iki çarpanın çarpımı olan bir sayıya bölünebilme kuralında (burada 36 = 4 \times 9), verilen kalan her iki çarpana ayrı ayrı bölünerek o çarpanlara ait kalanlar bulunur:
N \equiv k \pmod{m \cdot n} \implies N \equiv k \pmod m \quad \text{ve} \quad N \equiv k \pmod n
ÇÖZÜM ADIMLARI
Adım 1 — 4 ve 9 İle Bölümünden Kalanları Belirleme
Beş basamaklı 4a3b7 sayısının 36 ile bölümünden kalan 17 olarak verilmiştir. 36 = 4 \times 9 olduğundan:
- 4 ile bölümünden kalan: 17 \div 4 işleminden kalan 1’dir (4a3b7 \equiv 1 \pmod 4).
- 9 ile bölümünden kalan: 17 \div 9 işleminden kalan 8’dir (4a3b7 \equiv 8 \pmod 9).
Adım 2 — 4 ile Bölünebilme Kuralından b Değerlerinin Bulunması
Bir sayının 4 ile bölümünden kalan, son iki basamağının (b7) 4 ile bölümünden kalana eşittir.
b7 \equiv 1 \pmod 4
Son iki basamağın 4 ile bölümünden 1 kalanını vermesi için b rakamı tek sayı olmalıdır:
b \in \{1, 3, 5, 7, 9\}
Adım 3 — 9 ile Bölünebilme Kuralı ile (a + b) Toplamını Hesaplama
Bir sayının 9 ile bölümünden kalan, rakamları toplamının 9 ile bölümünden kalana eşittir:
4 + a + 3 + b + 7 = 14 + a + b
14 + a + b \equiv 8 \pmod 9 \implies 5 + a + b \equiv 8 \pmod 9 \implies a + b \equiv 3 \pmod 9
a ve b birer rakam (0 \le a, b \le 9) olduğundan, toplamın alabileceği değerler 3 veya 3 + 9 = 12’dir.
- a + b = 12 durumu için örneğin b = 9 seçilirse a = 3 olur ve her iki koşul da sağlanır.
Dolayısıyla a + b toplamının alabileceği en büyük değer 12 olarak bulunur.
CEVAP: B) 12 (a + b = 12)
SINAV NOTU / PÜF NOKTASI: Aralarında asal çarpanlara ayırdığınızda ana kalanın (17), çarpanlardan (4 ve 9) büyük olması durumunda kalanı tekrar bu çarpanlara bölerek yeni kalanları belirlemeyi unutmayınız.