Berna,kenar uzunlukları metre cinsinden birer doğal sayı ve çevre uzunluğu 42 m olan dikdörtgen şeklinde bir arazi satın alıyor. Ardından bu araziye kare şeklinde bir alana sahip olacak biçimde bir ev yaptırıyor.
Buna göre Berna’nın yaptırdığı evin alanı en fazla kaç metrekaredir?
A)64 B)81 C)100 D)121
Çevresi 42 m, kenar uzunlukları doğal sayılar olan bir dikdörtgen için:
Burada a ve b, dikdörtgenin kısa ve uzun kenarlarıdır.
Dikdörtgen alanı:
Bu fonksiyonun maksimumunu bulmak için türev alabiliriz:
Ancak a ve b doğal sayı olmak zorunda olduğundan, en yakın doğal sayılar 10 ve 11’dir.
Alanlar ise:
Bu durumda dikdörtgen alanı en fazla 110 metrekare olur.
Uzman İpucu: Çevresi sabit olan bir dikdörtgenin alanı, kenar uzunlukları eşitleme yaklaşırken maksimuma ulaşır. Ancak doğal sayı kısıtı nedeniyle en iyi çözüm yaklaşık değerlerle bulunur.
Evin kare şeklinde olması ve araziye tam sığması için, karenin kenarı dikdörtgenin kısa kenarından uzun olamaz.
Kare alanı en fazla 100 m² olabilir.
| Özellik | Dikdörtgen Arazi | En Büyük Kare Ev |
|---|---|---|
| Kısa Kenar | 10 m | 10 m (karena bağlı) |
| Uzun Kenar | 11 m | - |
| Çevre | 42 m (sabit) | - |
| Alan | 110 m² (maksimum) | 100 m² |
| Ev Alanı | Sınırlı kare | En fazla 100 m² |
| Unsur | Değer |
|---|---|
| Çevre | 42 m |
| Dikdörtgen Kenar Toplamı | 21 m |
| Dikdörtgen Alanı (maksimum) | 110 m² |
| Evin Kenarı (kare) | 10 m |
| Evin Alanı (maksimum) | 100 m² |
1. Neden evin alanı dikdörtgenin kısa kenarının karesinden büyük olamaz?
Çünkü kare ev, arazi içinde olmak zorunda ve kısa kenar arazinin en dar boyutudur. Bu, karenin kenarının maksimum kısa kenarı geçemeyeceği anlamına gelir.
2. Dikdörtgenin çevresi 42 değilse nasıl değişir?
Çevre değiştikçe, kenar toplamı değişir ve maksimum alan ile kare evin alanı da buna göre yeniden hesaplanır.
3. Kenarlar farklı doğal sayılar olursa evin alanı nasıl etkilenir?
Kısa kenar daha küçük olduğunda, kare evin maksimum alanı küçülür. En büyük kare kısa kenara bağlıdır.
Bu problemi derinlemesine anlamak için, çevresi sabit dikdörtgenlerin alan optimizasyonu ve minimum kenar kısıtlarıyla ilgili başka sorulara veya şekil problemlerine bakmak ister misiniz?
Berna’nın satın aldığı dikdörtgen arazinin çevresi 42 metre ve kenarları doğal sayılar olduğundan, kenar toplamı 21 metre olmalı (çevre formülü: 2×(uzunluk + genişlik) = 42). Kare şeklindeki ev, arazinin içinde yer alacağı için, evin kenarı dikdörtgenin en küçük kenarına eşit veya daha küçük olmalı. En büyük kare alanı, dikdörtgenin kenarlarının birbirine en yakın olduğu durumda (10m ve 11m) elde edilir ve bu alan 100 metrekaredir. Bu, geometri problemlerinde sıkça karşılaşılan bir durumdur ve maksimum alanı bulmak için kenarların eşitlenmesine odaklanılır.
Bu problem, bir dikdörtgen arazinin çevresinin 42 metre ve kenarlarının doğal sayılar (pozitif tamsayılar) olması koşulu altında, bu araziye inşa edilen kare şeklindeki bir evin maksimum alanını bulmayı amaçlar. Dikdörtgenin çevresi, 2×(uzunluk + genişlik) formülüyle hesaplanır ve kare evin alanı, evin kenarının karesi olarak tanımlanır. Kare evin arazinin içinde yer alması gerektiğinden, evin kenarı dikdörtgenin en küçük kenarına bağlıdır. Geometri ve matematik eğitiminde, bu tür problemler optimize etme (maksimum veya minimum bulma) kavramlarını öğretir.
Pratik bir örnek olarak, tarım veya inşaat planlamasında arazi kullanımını en verimli hale getirmek için benzer hesaplamalar yapılır. Örneğin, bir inşaat mühendisi, dikdörtgen bir arsada en büyük kare yapıyı yerleştirmek için bu mantığı kullanabilir.
Sorunu çözmek için şu adımları izleyelim:
Formül özeti:
Bu adımlar, YKS TYT gibi sınavlarda sıkça kullanılan mantıksal düşünme becerilerini geliştirir.
Uyarı: Hata yapmamak için, kenarların doğal sayı olduğunu unutmayın. Eğer kenarlar kesirli olsaydı, maksimum min 10.5 olurdu, ama burada tamsayı kısıtlaması var.
Aynı çevre uzunluğuna (42 metre) sahip farklı dikdörtgenlerin, içindeki en büyük kare alanını karşılaştıralım. Bu, kenar oranlarının alan üzerindeki etkisini gösterir ve optimize etme kavramını pekiştirir.
| Kenar Çifti (l, w) | Min(l, w) (metre) | Kare Alan (metrekare) | Açıklama |
|---|---|---|---|
| (10, 11) | 10 | 100 | Maksimum alan, kenarlar en eşit durumda |
| (9, 12) | 9 | 81 | Alan azalır, kenarlar daha farklı |
| (8, 13) | 8 | 64 | Min değer küçülür, alan daha düşük |
| (7, 14) | 7 | 49 | (Seçeneklerde yok, ama örnek için) kenarlar çok farklı |
| (11, 10) | 10 | 100 | Aynı (10, 11) ile denk, simetrik |
Bu tablo, dikdörtgenin şeklinin (en boy oranı) kare alanını nasıl etkilediğini gösterir. Kenarlar ne kadar eşitse, min(l, w) o kadar büyük olur ve alan maksimuma ulaşır.
Anahtar Nokta: Gerçek hayatta, örneğin bir park tasarımı yaparken, alanı en verimli kullanmak için dikdörtgenin kareye yakın olması tercih edilir.
| Unsur | Detay |
|---|---|
| Çevre uzunluğu | 42 metre |
| Kenar toplamı | Uzunluk + genişlik = 21 metre |
| Kenar kısıtlaması | Doğal sayılar (tamsayılar) |
| Maksimum min(kenar) | 10 metre (l=10, w=11 veya tersi) |
| Maksimum kare alan | 100 metrekare |
| Doğru seçenek | C) 100 |
| Genel formül | Alan = [\min(l, w)]^2, l + w = 21 |
| Optimum durum | Kenarlar birbirine en yakın olduğunda |
| Potansiyel hata | Kenarların eşit olabileceğini varsaymak (mümkün değil, çünkü 21 tek) |
1. Neden dikdörtgenin kenarları eşit olamıyor?
Çünkü çevre 42 metre ve kenarlar doğal sayılar olduğundan, kenar toplamı 21’dir. 21 tek bir sayı olduğu için kenarlar tam eşit (örneğin 10.5 ve 10.5) olamaz; en yakın tamsayılar 10 ve 11’dir. Bu, matematikteki kesirli sayılarla karşılaştırmada önemli bir nüanstır.
2. Kare evin alanı, dikdörtgenin alanından büyük olabilir mi?
Hayır, kare ev arazinin içinde yer aldığı için, onun alanı dikdörtgen alanından küçük veya eşit olmalı. Örneğin, 10x11 dikdörtgenin alanı 110 metrekare, kare evin alanı ise maksimum 100 metrekare, yani daha küçük.
3. Eğer kenarlar kesirli olsaydı, maksimum alan ne olurdu?
Kenarlar kesirli olsa, optimum durumda her kenar 10.5 metre olur ve min(kenar) = 10.5, kare alan = 110.25 metrekare olurdu. Ancak problemde doğal sayılar belirtildiği için buscenario geçerli değil ve maksimum 100 metrekare.
4. Bu problemde başka kısıtlamalar var mı?
Hayır, verilen bilgiye göre sadece çevre 42 metre ve kenarlar doğal sayılar. Kare evin arazide sığması varsayımıyla, çözüm doğru. Sınav sorularında bazen ek kısıtlamalar olabilir, bu yüzden soruyu dikkatli okumak önemli.
5. Bu mantık başka geometri problemlerinde nasıl uygulanır?
Benzer şekilde, daire içindeki en büyük kare veya üçgenlerde maksimum alan hesaplarında kullanılır. Örneğin, bir dairenin içinde en büyük kare, daire çapiyle ilgili formüllerle bulunur, ama burada dikdörtgen kısıtlı.
Bu soruyu daha derinlemesine incelemek ister misiniz? Örneğin, benzer bir problemde kenarlar kesirli olsa nasıl hesaplanır, veya başka bir geometri sorusu mu çözelim?
Merhaba lütfen ortaokul düzeyi cevaplar mısın?
Berna’nın yaptırdığı evin alanı en fazla 100 metrekaredir. Doğru cevap C) 100.
Berna’nın yaptırdığı evin alanının en yüksek değeri hakkında başka sorunuz var mı?
@Fikret_Dilekci
Ortaokul düzeyi cevapla.
Berna’nın arazisi dikdörtgen ve çevresi 42 metre. Dikdörtgenin kısa ve uzun kenarları toplamı 21’dir. Çünkü çevre formülü şöyledir:
Kenarlar doğal sayı olduğundan 10 ve 11 en uygun sayılardır. En büyük kare ev, kısa kenar olan 10 metre kenarında olur ve alanı 100 metrekaredir.
Hızlı Not: Ev arazinin içindedir, bu yüzden kare evin kenarı kısa kenardan büyük olamaz.
Berna’nın yaptırdığı evin alanı hakkında başka sorularınız var mı?
@Fikret_Dilekci