Belirli sayıda eş karelerin birer kenarları ortak olacak şekilde alt alta veya yan yana birleştirilmesiyle oluşan

YKS TYT
1

Belirli sayıda eş karelerin birer kenarları ortak olacak şekilde alt alta veya yan yana birleştirilmesiyle oluşan yapılara karezen denir.
Yukarıda eş kareler ile oluşturulmuş 1. karezenin çevresinin uzunluğu 8 birim iken 2. karezenin çevresinin uzunluğu 10 birimdir.
Bu karelere eş 5 adet kare ile yeni bir karezen elde ediliyor.
Buna göre elde edilen yeni karezenin çevresinin uzunluğu
I. 10 birim
II. 12 birim
III. 14 birim
ifadelerinden hangileri olabilir?
A) Yalnız I
B) Yalnız II
C) Yalnız III
D) I ve II
E) I ve III

Belirli sayıda eş karelerin birer kenarları ortak olacak şekilde alt alta veya yan yana...
Belirli sayıda eş karelerin birer kenarları ortak olacak şekilde alt alta veya yan yana...800×979 73.1 KB

2

Karezen Çevre Problemi

:light_bulb: KULLANILAN FORMÜL / KURAL:

  • Bir karenin kenar uzunluğu a ve kare sayısı n olmak üzere; kenarları ortak olacak şekilde birleştirilen karelerin oluşturduğu şeklin çevresi:
\text{Çevre} = 4n \cdot a - 2k \cdot a

(Burada k, kareler arasında içeride kalan ortak kenar sayısıdır. Her ortak kenar, çevre uzunluğundan 2a birim eksiltir.)

:brain: ÇÖZÜM ADIMLARI:

Adım 1 — Birim Karenin Kenar Uzunluğunu Bulma

  • 1. karezen: 2 \times 2 düzeninde 4 kareden oluşur. Dış kenarlar sayıldığında çevresinde 8 adet kenar bulunur.
\text{Çevre}_1 = 8a = 8 \text{ birim} \implies a = 1 \text{ birim}
  • 2. karezen: 4 kareden oluşur ve dış çevresinde 10 adet kenar bulunur.
\text{Çevre}_2 = 10a = 10 \text{ birim} \implies a = 1 \text{ birim}

Böylece kullanılan her bir karenin kenar uzunluğunun 1\text{ birim} olduğu doğrulanır.

Adım 2 — 5 Kare ile Oluşabilecek Yapıları ve Ortak Kenar Sayılarını (k) İnceleme
n = 5 adet birim kare birleştirildiğinde tüm karelerin toplam kenar sayısı 5 \times 4 = 20’dir. Şeklin birleşik (karezen) kalabilmesi için karelerin birbirine en az bir kenarla bağlı olması gerekir:

  • Maksimum Çevre Durumu (Döngüsüz / Ağaç Yapısı):
    5 karenin birbirine bağlı bir yapı oluşturabilmesi için en az n - 1 = 4 ortak kenar (k = 4) bulunmalıdır (Örneğin: Yan yana dizilmiş 1 \times 5 şerit, L biçimi veya T biçimi).

    \text{Çevre} = 20 - 2(4) = 12 \text{ birim}

    (Demek ki II. öncül olabilir ve ulaşılabilecek en büyük çevre 12 birimdir).

  • Minimum Çevre Durumu (En Çok Ortak Kenar):
    Karelerden 4 tanesi ile 2 \times 2 blok yapılıp 5. kare bunun herhangi bir dış kenarına yapıştırılırsa (P-pentomino yapısı), 2 \times 2 bloğun içinde 4 ortak kenar ve 5. karenin eklenmesiyle 1 ortak kenar daha oluşur; toplam k = 5 ortak kenar elde edilir.

    \text{Çevre} = 20 - 2(5) = 10 \text{ birim}

    (Demek ki I. öncül olabilir).

  • 14 birim Çevre Durumu:
    Çevrenin 14\text{ birim} olması için:

    20 - 2k = 14 \implies 2k = 6 \implies k = 3

    olmalıdır. Ancak 5 karenin bağlantılı tek bir yapı oluşturabilmesi için en az 4 ortak kenar (k \ge 4) zorunludur. Ortak kenar sayısı 3 olursa kareler birbirine bağlanamaz, yapı iki parçaya ayrılır. Bu nedenle çevre 14 birim olamaz.

━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
:white_check_mark: CEVAP: D) I ve II
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━

:bullseye: TEMEL KAVRAMLAR:

  • Ortak Kenar İlkesi: İki çokgen kenarları boyunca yapıştırıldığında, çakışan her kenar çifti şeklin iç bölgesinde kalır ve çevre uzunluğunu 2 kenar boyu azaltır.
  • Bağlantılı Graf Kuralı: n adet parçanın tek parça halinde birbirine bağlanabilmesi için en az n - 1 bağlantı noktası gerekir.

:warning: SIK YAPILAN HATALAR:

  • :cross_mark: Hatalı Yaklaşım: Kareleri uca ekleyerek çevrenin 14 veya daha fazla yapılabileceğini düşünmek.
  • :white_check_mark: Doğru Yaklaşım: 5 kareyi düz bir çizgide yan yana koysak bile 4 iç kenar oluşur ve maksimum çevre 2 \times (1 + 5) = 12\text{ birim} ile sınırlı kalır.

Bu mantığı pekiştirmek için 6 adet eş kare ile oluşturulabilecek en küçük ve en büyük karezen çevrelerini birlikte hesaplamak ister misin?