Integralinin degerinl hesaplayıniz.
Soru Fotoğrafı:
Belirli İntegral Hesabı
KULLANILAN FORMÜL:
İntegral alma kuralı: \int x^n dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C
Belirli integral kuralı: \int_{a}^{b} f(x) dx = F(b) - F(a)
ÇÖZÜM ADIMLARI:
Adım 1 — İntegrali Düzenleme
İntegrali daha kolay hesaplamak için \frac{1}{x^2} ifadesini üslü sayı biçiminde yazalım:
\int_{1}^{2} (2x - x^{-2}) \, dx
Adım 2 — Belirsiz İntegrali Hesaplama
Her bir terimin ayrı ayrı integralini alalım:
- 2x teriminin integrali: 2 \cdot \frac{x^2}{2} = x^2
- -x^{-2} teriminin integrali: -\frac{x^{-1}}{-1} = x^{-1} = \frac{1}{x}
Böylece integralin genel formu: \left[ x^2 + \frac{1}{x} \right]_{1}^{2} olur.
Adım 3 — Sınır Değerlerini Yerine Koyma
Üst sınırı (2) ve alt sınırı (1) fonksiyonumuza uygulayalım:
- Üst Sınır için (x=2): (2)^2 + \frac{1}{2} = 4 + 0.5 = 4.5 veya \frac{9}{2}
- Alt Sınır için (x=1): (1)^2 + \frac{1}{1} = 1 + 1 = 2
Adım 4 — Sonucu Bulma
Üst sınır değerinden alt sınır değerini çıkaralım:
\frac{9}{2} - 2 = \frac{9-4}{2} = \frac{5}{2}
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
CEVAP: \frac{5}{2} veya 2.5
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
TEMEL KAVRAMLAR:
1. Belirli İntegral
- Tanım: Bir fonksiyonun belirli bir aralıktaki eğrisinin altında kalan net alanı temsil eder.
- Bu problemde: 1 ile 2 aralığındaki değer değişimini hesaplamak için kullanıldı.
2. Üslü İfade İntegrali
- Tanım: Paydadaki değişkenler yukarıya negatif üs olarak taşınarak kural uygulanır.
- Bu problemde: \frac{1}{x^2} ifadesi x^{-2} olarak işleme alındı.
SIK YAPILAN HATALAR:
İşaret Hatası
- Yanlış: -x^{-2} integralini alırken işaret takibi yapmayıp sonucu negatif bırakmak.
- Doğru: İki negatif işaretin birbirini artıya dönüştürdüğünü (-\frac{x^{-1}}{-1} = +x^{-1}) fark etmek.
- Neden Yanlış: Belirli integralde yön ve işaret, sonucu tamamen değiştirir.
Bu çözümdeki integral alma mantığını pekiştirmek için değişken değiştirme yöntemi gerektiren bir soru daha çözmemi ister misin?