Belirli Bir Yükseklikten Bırakılan Topun Başlangıç Yüksekliğini Bulma

YKS TYT
1

Belirli bir yükseklikten birakılan bir top, yere vu-
ruşundan sonra bir önceki düşüş yüksekliğinin
u kadar yükselmektedir.
Top yere üçüncü vuruşundan sonra 8 cm yük-
seldiğine göre, başlangiçta kaç cm den birakil-
miştır?
A) 621
B) 628
C) 720 D) 729
E) 738
(2002- ÖsS)

Soru Görseli
Soru Görseli1024×768 75.8 KB

2

Belirli Bir Yükseklikten Bırakılan Topun Başlangıç Yüksekliğini Bulma

:light_bulb: [KULLANILAN FORMÜL:]
Bir top her yere vuruşunda bir önceki yüksekliğinin k katı kadar yükseliyorsa, n. vuruştan sonraki yükseklik şu formülle hesaplanır:

h_n = H \times (k)^n

(Burada H başlangıç yüksekliği, k yükselme oranı, n vuruş sayısıdır.)

:brain: [ÇÖZÜM ADIMLARI:]

Adım 1 — Verilenlerin Belirlenmesi
Soruda topun her seferinde önceki yüksekliğinin \frac{2}{9}'u kadar yükseldiği belirtilmiştir (k = \frac{2}{9}). Topun yere 3. vuruşundan sonra ulaştığı yükseklik ise 8 \text{ cm} olarak verilmiştir (h_3 = 8). Bizden başlangıç yüksekliği (H) istenmektedir.

Adım 2 — Denklemin Kurulması
Üçüncü vuruş sonrasındaki durumu veren matematiksel ifadeyi yazalım:

H \times \left(\frac{2}{9}\right) \times \left(\frac{2}{9}\right) \times \left(\frac{2}{9}\right) = 8

Veya üslü ifade olarak:

H \times \left(\frac{2}{9}\right)^3 = 8

Adım 3 — Hesaplama ve H’yi Yalnız Bırakma
Önce parantez içindeki ifadenin küpünü alalım:

H \times \frac{2^3}{9^3} = 8
H \times \frac{8}{729} = 8

Şimdi her iki tarafı 8’e bölersek:

H \times \frac{1}{729} = 1
H = 729 \text{ cm}

━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
:white_check_mark: [CEVAP:] 729 cm (D Seçeneği)
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━

:bullseye: [TEMEL KAVRAMLAR:]

1. Geometrik Azalma

  • [Tanım:] Bir değerin her adımda sabit bir oranla çarpılarak değişmesidir.
  • [Bu problemde:] Topun her zıplayışta enerjisini kaybederek \frac{2}{9} oranında daha az yükselmesi geometrik bir dizilim oluşturur.

:warning: [SIK YAPILAN HATALAR:]

:cross_mark: Vuruş Sayısını Karıştırmak

  • [Yanlış:] 3. vuruş denildiğinde sadece 2 kez çarpma yapmak.
  • [Doğru:] Her vuruş yeni bir yükselme başlattığı için 3. vuruş sonrası 3 kez \frac{2}{9} ile çarpılmalıdır.
  • [Neden yanlış:] Top yere değmeden yükselme gerçekleşmez; dolayısıyla vuruş sayısı ile çarpım sayısı eşittir.

Bu çözümde kullanılan ters işlem mantığını (sonuçtan başlangıca gitme) başka bir problem üzerinde denemek ister misin?