Belediye otobüslerinin hareket ettikleri ilk durakta aşağıdaki gibi akıllı panoda hangi hat otobüsünün kaç dakika sonra hareket edeceği yazılıdır.
Bu otobüslerden ilki hareket ettikten en geç 10 dakika sonra bütün otobüsler de hareket ettiğine göre, x’in alabileceği kaç tam sayı değeri vardır?
A) 13
B) 14
C) 16
D) 17
E) 15
Basit Eşitsizlikler ve Aralık Problemleri
KULLANILAN FORMÜL / KURAL:
Tüm otobüslerin hareket süreleri kümesinde ilk hareket eden otobüs en küçük süreye (\min), son hareket eden otobüs ise en büyük süreye (\max) karşılık gelir. İlk otobüs ile son otobüs arasındaki süre farkının en geç 10 dakika olması koşulu:
\max - \min \le 10
eşitsizliği ile modellenir.
ÇÖZÜM ADIMLARI
Adım 1 — Verilen Hareket Sürelerinin Belirlenmesi
Panoda verilen otobüslerin hareket süreleri 12, 18, 15 ve x dakikadır. Bilinen süreler arasından en erken kalkan otobüs 12. dakikada, en geç kalkan otobüs ise 18. dakikada hareket etmektedir.
Adım 2 — En Erken ve En Geç Hareket Eden Otobüse Göre x’in Sınırlarının Bulunması
-
Durum 1 (x’in en küçük değer olması durumu):
Eğer ilk kalkan otobüs 2\text{E} hattı (x dakika) ise, son kalkan otobüs 18. dakikada hareket eden 8\text{A} hattı olur:18 - x \le 10 \implies x \ge 8 -
Durum 2 (x’in en büyük değer olması durumu):
Eğer son kalkan otobüs 2\text{E} hattı (x dakika) ise, ilk kalkan otobüs 12. dakikada hareket eden 34 hattı olur:x - 12 \le 10 \implies x \le 22 -
Durum 3 (x’in ara bir değer olması durumu):
12 \le x \le 18 olduğunda ilk otobüs 12, son otobüs 18. dakikada kalkar. Aralarındaki fark 18 - 12 = 6 \le 10 olup koşul daima sağlanır.
Adım 3 — x’in Alabileceği Tam Sayı Değerlerinin Hesaplanması
Tüm durumlar birleştirildiğinde x tam sayısının aralığı:
8 \le x \le 22
Bu aralıktaki tam sayı adedi terim sayısı formülüyle bulunur:
\text{Terim Sayısı} = 22 - 8 + 1 = 15
CEVAP: E) 15 (x \in [8, 22])
SINAV NOTU / PÜF NOKTASI:
“En geç 10 dakika sonra” ifadesi matematiksel olarak \le 10 anlamına gelir ve sınır değerler (8 ve 22) çözüme dâhildir. Bilinmeyen terimin hem kümenin minimumu hem de maksimumu olabileceği iki uç durum ayrı ayrı test edilmelidir.