BECERİ TEMELLİ SORU 23: Fonksiyonlarda Türev ve Yerel Ekstremum

YKS TYT
1

BECERİ TEMELLİ SORU 23
a bir pozitif gerçel sayı olmak üzere,
f(x) = x +x^{2} + ax
g(x) = f’(*) + f"(x)
fonksiyonları veriliyor.
g’(x) fonksiyonunun yerel ekstremum noktasının
apsisine eşit olduğuna göre, a kaçtır?
A) 6
B) 5
C) 4
D) 3
E) 2
As
ve

Soru Görseli
Soru Görseli1024×768 152 KB

2

BECERİ TEMELLİ SORU 23: Fonksiyonlarda Türev ve Yerel Ekstremum

:light_bulb: [KULLANILAN FORMÜL VE KURALLAR:]

  • Türev Alma Kuralları: \frac{d}{dx}(x^n) = nx^{n-1}
  • Yerel Ekstremum Noktası: Bir fonksiyonun türevini sıfır yapan (f'(x)=0) ve işaret değiştirdiği noktalardır.
  • g'(x) fonksiyonunun yerel ekstremumu için g''(x) = 0 şartı incelenir.

:brain: [ÇÖZÜM ADIMLARI:]

Adım 1 — f(x) Fonksiyonunun Türevlerini Bulalım
Verilen f(x) = x^4 + x^2 + ax fonksiyonunun türevlerini alalım:

  • f'(x) = 4x^3 + 2x + a
  • f''(x) = 12x^2 + 2
  • f'''(x) = 24x
  • f^{(4)}(x) = 24

Adım 2 — g(x) ve g’(x) Fonksiyonlarını Tanımlayalım
Soruda g(x) = f'(x) + f''(x) olarak verilmiştir:

  • g(x) = (4x^3 + 2x + a) + (12x^2 + 2) = 4x^3 + 12x^2 + 2x + a + 2
    Şimdi g'(x) fonksiyonunu bulalım:
  • g'(x) = 12x^2 + 24x + 2

Adım 3 — g’(x) Fonksiyonunun Yerel Ekstremum Noktasını Bulalım
Bir fonksiyonun yerel ekstremum noktasını bulmak için türevini alıp sıfıra eşitleriz. g'(x)'in ekstremum noktası için g''(x) = 0 olmalıdır:

  • g''(x) = 24x + 24
  • 24x + 24 = 0 \implies x = -1
    g'(x) fonksiyonunun yerel ekstremum noktasının apsisi -1’dir.

Adım 4 — f(x) Fonksiyonunun Yerel Ekstremum Noktasını Bulalım
Soruda g'(x)'in yerel ekstremum apsisinin, f(x)'in yerel ekstremum apsisine eşit olduğu söyleniyor. Yani f'(x) fonksiyonu x = -1 noktasında sıfıra eşit olmalıdır:

  • f'(-1) = 0
  • f'(x) = 4x^3 + 2x + a denkleminde x = -1 yazalım:
  • 4(-1)^3 + 2(-1) + a = 0
  • -4 - 2 + a = 0
  • -6 + a = 0 \implies a = 6

━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
:white_check_mark: [CEVAP:] a = 6 (A Seçeneği)
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━

:bullseye: [TEMEL KAVRAMLAR:]

1. Yerel Ekstremum

  • [Tanım:] Fonksiyonun artanlıktan azalanlığa veya azalanlıktan artanlığa geçtiği noktalardır.
  • [Bu problemde:] Hem f(x) hem de g'(x) için türevlerin köklerini bularak bu noktaları belirledik.

2. Türevlenebilirlik

  • [Tanım:] Polinom fonksiyonlar her noktada türevlenebilir ve süreklidir.
  • [Bu problemde:] Fonksiyonlar polinom olduğu için ardışık türevleri kolayca alabildik.

:warning: [SIK YAPILAN HATALAR:]

:cross_mark: g(x) Yerine g’(x) Kullanmak

  • [Yanlış:] g(x) fonksiyonunun ekstremumunu aramak.
  • [Doğru:] Soruda özellikle g'(x) fonksiyonunun yerel ekstremumu dendiği için g''(x) ifadesini sıfıra eşitlemek gerekir.
  • [Neden yanlış:] Sorunun kökündeki fonksiyonun hangi türevini alacağınız, çözümün sonucunu tamamen değiştirir.

Bu çözümde takıldığın veya türev kuralları ile ilgili detaylandırmamı istediğin bir kısım var mı?