a, b ve c pozitif tam sayılar sorusu çözümü
Önemli Noktalar
- a, b ve c pozitif tam sayılar olarak verilir
- \frac{a+b}{c} = 8 ifadesinin tam sayı olması a+b’nin c’ye tam bölündüğünü gösterir
- Yargılar:
- I. a çift sayıdır
- II. a-b çift sayıdır
- III. c tek sayıdır
- Bu yargıların hangilerinin kesinlikle doğru olduğu sorulur
a, b, c pozitif tamsayı ve \frac{a+b}{c} = 8 olduğuna göre, a+b = 8c dir.
Çözüm
- a+b=8c olduğundan a+b ifadesi 8 katıdır, yani çift sayıdır çünkü 8 çift sayıdır.
- a+b çift olduğuna göre, a ve b ikisi de ya çift ya da tek sayılardır. Çünkü:
- Çift + Çift = Çift
- Tek + Tek = Çift
- Tek + Çift = Tek (bu olamaz)
- a çift veya tek olabilir, kesinlikle çift demek mümkün değildir. Dolayısıyla I. yargı yanlış.
- a-b çift midir diye bakalım:
- Eğer a ve b ikisi de çift ise a-b çift olacaktır.
- Eğer a ve b ikisi de tek ise a-b çift olur. Çünkü iki tek sayının farkı çift sayıdır.
- Yani a ve b aynı pariteye sahip olduğu için a-b her zaman çift sayıdır. II. yargı doğru.
- c için ise:
- c = \frac{a+b}{8}
- a+b çift olabilir, c ise değişken olabilir.
- c’nin tek olması zorunlu değildir. Örneğin a=2, b=6 verildiğinde a+b=8, c=1 tek.
- Ancak a=6, b=10 olursa a+b=16 ve c=2 çift olur.
- Bu yüzden c’nin tek olması kesin değildir. III. yargı yanlıştır.
Sonuç
Kesin olarak doğru olan yargı sadece II. a - b çift sayıdır ifadesidir.
Özet Tablo
| Yargı | Doğruluk Durumu |
|---|---|
| I | Yanlış |
| II | Doğru |
| III | Yanlış |
Sık Sorulan Sorular
1. Neden a çift olamaz?
Çünkü a+b çift olduğunda a ve b ya ikisi çift ya da ikisi tek olabilir. a’nın tek veya çift olması duruma bağlıdır.
2. a-b her zaman çift midir?
Evet, a ve b aynı pariteye sahip olduklarından farkları her zaman çift sayıdır.
3. c neden kesinlikle tek sayı değildir?
Çünkü c = \frac{a+b}{8} olduğunda a+b 8’in katı olsa da c hem çift hem tek olabilir.
Bu tür problemlerde sayıların parite özellikleri (tek-çift olma durumu) çok önemlidir. İsterseniz bu tip sayıların parite özelliklerini ve tam bölünebilme kurallarını içeren özel bir çalışma rehberi hazırlayabilirim.
Size bu konuda nasıl yardımcı olabilirim?
Yalnız II doğrudur.
Soru
a, b ve c birer pozitif tam sayı olmak üzere
\displaystyle \frac{a+b}{c}=8
olduğu biliniyor. Buna göre hangi yargılar kesinlikle doğrudur?
I. a çift sayıdır.
II. a-b çift sayıdır.
III. c tek sayıdır.
Önemli Noktalar
- a+b=8c ifadesi her zaman çift bir toplam verir.
- İki sayının toplamı çiftse, bu sayılar aynı pariteye (ikisi de çift ya da ikisi de tek) sahiptir.
- Aynı pariteye sahip iki sayının farkı her zaman çifttir.
İçindekiler
1. Çözüm Özeti
- a+b=8c her zaman çift olduğundan a ve b aynı paritededir.
- Dolayısıyla a-b her zaman çifttir.
- $a$’nın tek ya da çift olma durumu ve $c$’nin tek ya da çift olması ise serbesttir.
2. Ayrıntılı Çözüm
- \displaystyle \frac{a+b}{c}=8\implies a+b=8c.
- Sağ taraftaki 8c ifadesi mutlaka 2’nin katıdır, yani a+b çifttir.
- İki sayının toplamı çiftse
- Her ikisi de çift olabilir (Ç–Ç),
- Her ikisi de tek olabilir (T–T).
- Ç–Ç ya da T–T durumlarında sayıların farkı daima çifttir.
- Sonuç olarak yalnızca II. önerme (a-b çift sayıdır) tüm durumlar için doğrudur.
3. Karşılaştırma Tablosu
| Önerme | Durum | Kesinlik |
|---|---|---|
| I. a çift sayıdır | Hem Ç–Ç hem T–T | Yanlış  |
| II. a - b çift sayıdır | Hem Ç–Ç hem T–T | Doğru  |
| III. c tek sayıdır | c serbest | Yanlış |
4. Özet Tablosu
| Adım | Sonuç |
|---|---|
| a+b=8c | a+b çift |
| (a,b) parite durumu | Aynı |
| a-b | Çift (kesin) |
| a | Tek veya çift olabilir |
| c | Tek veya çift olabilir |
5. SSS
S1: $a+b$’nin çift olması a ve b’nin paritesini nasıl belirler?
C1: Toplam çiftse aynı paritededirler (Ç–Ç veya T–T).
S2: İki sayının aynı paritede olması neden farklarının çift olmasını sağlar?
C2: (Ç–Ç) veya (T–T) durumda çıkışta her zaman 2’nin katı fark elde edilir.
S3: $c$’nin paritesi denklemde neden sınırlandırılamıyor?
C3: Denkleme sadece a+b üzerinden bakıldığı için $c$’nin tek/çift olması sonucu etkilemez.
Başka örnek sorular çözmemi ister misiniz? @Tugce_Satilmis