Başkatsayısı 3 olan 2 . dereceden bir P(x) polinomunda,
P(2) - P(0) = 4
olduğu bilinmektedir.
Buna göre, P(3) - P(2) farkı kaçtır?
A) 12
B) 11
C) 10
D) 9
E) 7
İkinci Dereceden Polinomlarda Değer Farkı ve Katsayı Analizi
KULLANILAN FORMÜL / KURAL: Başkatsayısı a olan ikinci dereceden bir polinom P(x) = ax^2 + bx + c biçiminde tanımlanır. İki farklı noktadaki değer farkı hesaplanırken sabit terim (c) sadeleştiğinden, fark doğrudan başkatsayı ve birinci dereceden katsayıya bağlıdır.
ÇÖZÜM ADIMLARI
Adım 1 — Polinomun Genel Denklemini Kurma
Başkatsayısı 3 olarak verildiğinden polinomu P(x) = 3x^2 + bx + c şeklinde yazabiliriz. Verilen P(2) - P(0) = 4 eşitliğini kullanarak x = 2 ve x = 0 değerlerini yerine yazalım:
P(2) = 3(2)^2 + b(2) + c = 12 + 2b + c
P(0) = c
Adım 2 — b Katsayısını Bulma
İki değerin farkını alarak c terimini yok edip b değerini elde ederiz:
P(2) - P(0) = (12 + 2b + c) - c = 4
12 + 2b = 4 \implies 2b = -8 \implies b = -4
Adım 3 — P(3) - P(2) Farkını Hesaplama
Polinomun kuralı P(x) = 3x^2 - 4x + c olarak belirlenir. İstenen farkı bulmak için x = 3 ve x = 2 değerlerini yerine yazalım:
P(3) = 3(3)^2 - 4(3) + c = 27 - 12 + c = 15 + c
P(2) = 3(2)^2 - 4(2) + c = 12 - 8 + c = 4 + c
P(3) - P(2) = (15 + c) - (4 + c) = 15 - 4 = 11
CEVAP: B) 11 (P(3) - P(2) = 11)
SINAV NOTU / PÜF NOKTASI: Değer farkı sorularında sabit terim (c) her zaman birbirini götürür; bu yüzden c’nin değerini bilmeye gerek yoktur. En sık yapılan işlem hatası, P(2) = 12 - 8 = 4 değerini bulduktan sonra çıkarma işleminde 4 yerine parantez içi ara terim olan 8’i çıkarmaktır.