Başkatsayısı 2 olan üçüncü dereceden polinom fonksiyonunun yerel minimum değeri

YKS TYT
1
  1. Başkatsayısı 2 olan üçüncü dereceden polinom fonksiyonuyla ilgili aşağıdaki bilgiler veriliyor.

• f fonksiyonunun ekstreum noktalarından biri (-1, a) dir.
• f’ fonksiyonunun ekstreum noktası (2, b) dir.
• f fonksiyonunun y eksenini kestiği noktanın koordinatları toplamı, f’ fonksiyonunun yerel minimum değerine eşittir.

Buna göre f fonksiyonunun yerel minimum değeri kaçtır?

A) -300
B) -280
C) -272
D) -254
E) -250

Soru Fotoğrafı:

Soru Görseli
Soru Görseli1024×648 69.6 KB

2

Başkatsayısı 2 olan üçüncü dereceden polinom fonksiyonunun yerel minimum değeri

:light_bulb: [KULLANILAN FORMÜLLER:]

  • Üçüncü dereceden polinom: f(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d
  • Türev ve Ekstremum: f'(x_0) = 0 (Ekstremum noktası için)
  • İkinci Türev: f''(x_0) = 0 (Türev fonksiyonunun ekstremum noktası için)

:brain: [ÇÖZÜM ADIMLARI:]

Adım 1 — Polinomun ve Türevlerinin Tanımlanması
Başkatsayısı 2 olan üçüncü dereceden fonksiyonu yazalım:
f(x) = 2x^3 + mx^2 + nx + k
Birinci türevi: f'(x) = 6x^2 + 2mx + n
İkinci türevi: f''(x) = 12x + 2m

Adım 2 — f’ Fonksiyonunun Ekstremum Noktasını Kullanma
f' fonksiyonunun ekstremum noktası (2, b) olarak verilmiş. Bu, f''(2) = 0 demektir:
12(2) + 2m = 0 \implies 24 + 2m = 0 \implies m = -12
Bu durumda türev fonksiyonumuz: f'(x) = 6x^2 - 24x + n olur.

Adım 3 — f Fonksiyonunun Ekstremum Noktasını Kullanma
f fonksiyonunun ekstremum noktalarından biri (-1, a) ise f'(-1) = 0 olmalıdır:
f'(-1) = 6(-1)^2 - 24(-1) + n = 0
6 + 24 + n = 0 \implies 30 + n = 0 \implies n = -30
Şu an türev fonksiyonumuz tam olarak şudur: f'(x) = 6x^2 - 24x - 30

Adım 4 — Sabit Terimin (k) Bulunması

  • f' fonksiyonunun yerel minimum değeri b’dir. Tepe noktasının apsisi x=2 idi:
    b = f'(2) = 6(2)^2 - 24(2) - 30 = 24 - 48 - 30 = -54
  • f fonksiyonunun y eksenini kestiği nokta (0, k)'dır. Koordinatlar toplamı 0 + k = k olur.
  • Bilgiye göre k = b olduğundan, k = -54 bulunur.
    Fonksiyonun tam hali: f(x) = 2x^3 - 12x^2 - 30x - 54

Adım 5 — Yerel Minimum Değerinin Hesaplanması
Yerel ekstremum noktalarını bulmak için f'(x) = 0 denklemini çözelim:
6x^2 - 24x - 30 = 0 \implies x^2 - 4x - 5 = 0
(x-5)(x+1) = 0 \implies x_1 = -1 (yerel maks) ve x_2 = 5 (yerel min).
Yerel minimum değeri f(5) değeridir:
f(5) = 2(5)^3 - 12(5)^2 - 30(5) - 54
f(5) = 2(125) - 12(25) - 150 - 54
f(5) = 250 - 300 - 150 - 54 = -254

━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
:white_check_mark: [CEVAP:] D) -254
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━

:bullseye: [TEMEL KAVRAMLAR:]

1. Ekstremum Noktası

  • [Tanım:] Bir fonksiyonun türevinin sıfır olduğu veya tanımlı olmadığı, artanlıktan azalanlığa (veya tersi) geçtiği noktalardır.
  • [Bu problemde:] f için f'(x)=0 ve f' için f''(x)=0 şartları kullanılmıştır.

2. Yerel Minimum Değeri

  • [Tanım:] Fonksiyonun belirli bir aralıktaki en küçük değeridir. Türevin işaretinin (-)'den (+)'ya geçtiği noktada oluşur.
  • [Bu problemde:] x=5 noktasındaki f(5) görüntüsüdür.

:warning: [SIK YAPILAN HATALAR:]

:cross_mark: Koordinat Toplamı Karıştırma

  • [Yanlış:] y eksenini kestiği noktanın sadece y değerini almak yerine x ve y’yi yanlış toplamak.
  • [Doğru:] y ekseni üzerinde x=0 olduğundan koordinatlar (0, k)'dır ve toplamı k eder.
  • [Neden yanlış:] İşlem hatası sorunun sonundaki sabit terimi yanlış bulmanıza yol açar.

Bu çözümde kullanılan türev-grafik ilişkisi hakkında başka bir örnek çözmemi ister misin?