Başkatsayısı 2 olan f(x) fonksiyonunun integral değerinin bulunması

YKS TYT
1
  1. Başkatsayısı 2 olan ikinci dereceden f(x) polinom
    fonksiyonunun azalan olduğu en geniş aralık (-%,4] dır.
    0 Buna göre
    integralinin değeri kaçtır?
    A) -30
    olinonm
    B) -24 C) -20
    D) -16
    E) -8

Soru Fotoğrafı:

Soru Görseli
Soru Görseli995×800 48.9 KB

2

Başkatsayısı 2 olan f(x) fonksiyonunun integral değerinin bulunması

:light_bulb: [KULLANILAN FORMÜL:]
İkinci dereceden bir fonksiyonun genel formu: f(x) = ax^2 + bx + c
Tepe noktası (r): r = -\frac{b}{2a}
İntegral Temel Teoremi: \int_{a}^{b} f'(x) \, dx = f(b) - f(a)

:brain: [ÇÖZÜM ADIMLARI:]

Adım 1 — Fonksiyonun Denklemini Belirleme
Soruda başkatsayısı 2 olan ikinci dereceden bir f(x) polinomu verildiği belirtilmiştir. Bu durumda a = 2 olur. Fonksiyonu şu şekilde yazabiliriz:
f(x) = 2x^2 + bx + c

Adım 2 — Azalan Olduğu Aralıktan Tepe Noktasını Bulma
İkinci dereceden bir fonksiyon (parabol), başkatsayısı pozitif olduğu için kolları yukarı doğrudur. Bu tür fonksiyonlar tepe noktasına (r) kadar azalan, tepe noktasından sonra artandır.
Azalan olduğu en geniş aralık (-\infty, 4] olarak verildiğine göre, bu parabolün tepe noktasının apsisi r = 4 olmalıdır.

Adım 3 — Türev Fonksiyonunu Oluşturma
Tepe noktası r = 4 ise, fonksiyonun bu noktadaki türevi sıfırdır: f'(4) = 0.
f(x) = 2x^2 + bx + c fonksiyonunun türevini alalım:
f'(x) = 4x + b
f'(4) = 0 bilgisini yerine koyalım:
4(4) + b = 0 \implies 16 + b = 0 \implies b = -16
Böylece türev fonksiyonumuz: f'(x) = 4x - 16 olur.

Adım 4 — İntegral Hesabı
Bizden istenen değer: \int_{1}^{3} f'(x) \, dx
Belirli integrali hesaplayalım:
\int_{1}^{3} (4x - 16) \, dx = [2x^2 - 16x]_{1}^{3}

Sınır değerlerini yerine koyalım:
Üst sınır (3): 2(3)^2 - 16(3) = 2(9) - 48 = 18 - 48 = -30
Alt sınır (1): 2(1)^2 - 16(1) = 2 - 16 = -14

Sonuç: (-30) - (-14) = -30 + 14 = -16

━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
:white_check_mark: [CEVAP:] -16 (D Seçeneği)
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━

:bullseye: [TEMEL KAVRAMLAR:]

1. İkinci Dereceden Fonksiyonlar (Parabol)

  • [Tanım:] f(x) = ax^2 + bx + c biçimindeki fonksiyonlardır.
  • [Bu problemde:] Başkatsayı a=2 olarak alınmış ve tepe noktasının azalanlık/artanlık sınırını belirlediği kullanılmıştır.

2. Belirli İntegral

  • [Tanım:] Bir türev fonksiyonunun belirli sınırlar arasındaki integralinin, orijinal fonksiyonun o sınırlardaki değerleri farkına eşit olmasıdır.
  • [Bu problemde:] Doğrudan türev fonksiyonunun integrali alınarak alan veya değer değişimi hesaplanmıştır.

:warning: [SIK YAPILAN HATALAR:]

:cross_mark: Aralığı Yanlış Yorumlamak

  • [Yanlış:] Azalan aralığın bitişini f(x)=4 sanmak.
  • [Doğru:] Azalan/Artan aralık geçişi türevin işaret değiştirdiği tepe noktasıdır (r=4).
  • [Neden yanlış:] Parabolün karakteristiği gereği x=r doğrusu simetri eksenidir ve yön değişim noktasıdır.

Bu çözümde integralin sınırlarını değiştirseydik sonucun nasıl etkileneceğini tartışmak ister misin?