Başkatsayısı -1 olan ikinci dereceden P(x) polinomunun kökleri 2P(0) ve 3P(0) olduğuna göre, P(x) polinomunun

Question Answer
1

Başkatsayısı -1 olan ikinci dereceden P(x) polinomunun kökleri 2P(0) ve 3P(0) olduğuna göre, P(x) polinomunun katsayıları toplamı kaçtır?
A) -2
B) 0
C) 2
D) 4
E) 6

Başkatsayısı -1 olan ikinci dereceden P(x) polinomunun kökleri 2P(0) ve 3P(0) olduğuna...
Başkatsayısı -1 olan ikinci dereceden P(x) polinomunun kökleri 2P(0) ve 3P(0) olduğuna...1024×658 69.7 KB

2

İkinci Dereceden Polinomun Katsayılar Toplamı

:light_bulb: KULLANILAN FORMÜL / KURAL:

  • Kökleri x_1 ve x_2, başkatsayısı a olan ikinci dereceden polinom:
    P(x) = a(x - x_1)(x - x_2)
  • Bir P(x) polinomunun katsayılar toplamı P(1), sabit terimi ise P(0) ile bulunur.

:brain: ÇÖZÜM ADIMLARI:

Adım 1 — Polinomun Denklemini Oluşturma
Polinomun sabit terimine bir değişken verelim: P(0) = c olsun.
Soruda verilen kökler x_1 = 2P(0) = 2c ve x_2 = 3P(0) = 3c’dir.
Başkatsayısı -1 olduğuna göre P(x) polinomu:

P(x) = -(x - 2c)(x - 3c)

Adım 2 — c Değerini Bulma
Denklemde x = 0 yazarak sabit terimi c’ye eşitleyelim:

P(0) = -(0 - 2c)(0 - 3c)
c = -(-2c)(-3c)
c = -6c^2

Bu denklemi düzenleyelim:

6c^2 + c = 0 \implies c(6c + 1) = 0
  • c \neq 0 olmalıdır (aksi takdirde kökler 0 olur ve polinom P(x) = -x^2 olup katsayılar toplamı -1 gelir, bu da seçeneklerde yer almaz).
  • Buradan:
6c + 1 = 0 \implies c = -\frac{1}{6}

Adım 3 — Katsayılar Toplamını (P(1)) Hesaplama
Bulduğumuz c = -\frac{1}{6} değerini polinomda yerine yazalım:

P(x) = -\left(x - 2\left(-\frac{1}{6}\right)\right)\left(x - 3\left(-\frac{1}{6}\right)\right)
P(x) = -\left(x + \frac{1}{3}\right)\left(x + \frac{1}{2}\right)

Katsayılar toplamı için x = 1 yazalım:

P(1) = -\left(1 + \frac{1}{3}\right)\left(1 + \frac{1}{2}\right)
P(1) = -\left(\frac{4}{3}\right) \cdot \left(\frac{3}{2}\right) = -\frac{12}{6} = -2

━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
:white_check_mark: CEVAP: A) -2
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━

:bullseye: TEMEL KAVRAMLAR:

  • Polinom Kökü (Sıfırı): Polinomu sıfır yapan x değeridir. Kökler verildiğinde polinom çarpanlarına ayrılarak doğrudan (x-x_1)(x-x_2) şeklinde kurulabilir.
  • Katsayılar Toplamı: Değişken yerine 1 yazılarak (P(1)) hesaplanır.

:warning: SIK YAPILAN HATALAR:

  • :cross_mark: Hatalı Yaklaşım: P(x) = ax^2 + bx + c formunda katsayılar bağıntısından (x_1+x_2 = -b/a, x_1 \cdot x_2 = c/a) giderken işaret hatası yapmak.
  • :white_check_mark: Doğru Yaklaşım: Kökler verildiğinde çarpan formunu P(x) = -(x - x_1)(x - x_2) olarak kurup doğrudan P(0) üzerinden bilinmeyeni tek adımda bulmak.

Bu konuyu iyice pekiştirmek için benzer bir polinom sorusu çözmek ister misin?