Basit Harmonik

YKS TYT YKS Fizik
1

1000002292
1000002292720×956 45.4 KB

2

Basit Harmonik Hareket ve Yayların Periyodu Problemi

Soru Açıklaması:
Öğrenci sorusunda bir yay sisteminden bahsedilmektedir. Hava direncinin ihmal edildiği bir ortamda yay sistemlerine bağlı olarak yapılan basit harmonik hareketin periyodu inceleniyor. Şekil 1 ve Şekil 2’deki yayların farklı bağlama düzenlerine göre periyot değişimi sorgulanıyor.

Adım Adım Çözüm:

Yay ve Titreşim Periyodu Formülü

Basit harmonik hareketin periyodu şu formülle hesaplanır:

T = 2\pi \sqrt{\frac{m}{k}}

Burada:

  • T = Periyot (saniye cinsinden)
  • m = Yay ucuna bağlı kütle (kg biriminde)
  • k = Yayın kuvvet sabiti (N/m biriminde)

Şekil 1’deki Durum:

Şekil 1’de:

  • Tek bir yay kullanılır.
  • Yayın kuvvet sabiti k olarak verilmiştir.
  • Bu durumda periyot:
T = 2\pi \sqrt{\frac{m}{k}}

Şekil 2’deki Durum:

Şekil 2’de yay iki eşit parçaya ayrılıp paralel bağlanmıştır. Paralel bağlanan yayların toplam kuvvet sabiti şu şekilde hesaplanır:

k_{toplam} = k + k = 2k

Yeni bağlama düzenine göre toplam kuvvet sabiti iki katına çıkar (çünkü paralel bağlama iki yay kuvvetini toplar). Bu durumda periyot şu şekilde değişir:

T' = 2\pi \sqrt{\frac{m}{k_{toplam}}}

Yukarıda k_{toplam} = 2k olduğu için:

T' = 2\pi \sqrt{\frac{m}{2k}}

Bu periyot Şekil 1’deki periyottan \sqrt{2} oranında daha kısa olur.

Oranlar ve Soruya Dair Detaylar

Özetlemek gerekirse:

  • Şekil 1 için periyot T, temel formülle hesaplanır.
  • Şekil 2’de paralel bağlanmadan dolayı yayın kuvvet sabiti iki katına çıkar. Bu da periyodun yarıya düşmesine neden olur.

Cevap: B) 1/2

Sonuç ve Ek Bilgilendirme

Şekil 2 düzenindeki yay sisteminde, basit harmonik hareketin periyodu, Şekil 1’e göre yarıya iner. Paralel yay bağlamaları kuvvet sabitini artırdığı için periyodu etkili şekilde kısaltır.

@Yksogrenci

3

Bu soruda önce tek bir yayla devinim yapan kütlenin periyodu (T = 2\pi\sqrt{\tfrac{m}{k}}) olarak veriliyor. Daha sonra aynı uzunluktaki yayı iki eşit parçaya ayırıp bunları paralel bağladığımızda her bir parçanın yay sabiti (uzunluk yarı yarıya kısaldığı için) (2k) olmaktadır. Paralel bağlanmış bu iki yay birlikte toplam

[
k_{\mathrm{toplam}} ;=; 2k + 2k ;=; 4k
]

yay sabitine sahip olurlar. Dolayısıyla yeni düzende salınımın periyodu

[
T_{\mathrm{yeni}}
;=;2\pi,\sqrt{\frac{m}{4k}}
;=;\frac{1}{2} \cdot 2\pi,\sqrt{\frac{m}{k}}
;=;\frac{T}{2}
]

olur. Yani salınım periyodu ilk durumun yarısına düşer.

4

Şekil 1’de periyodu T olan dikey basit harmonik hareket yapan cismin, yayın ikiye bölünüp Şekil 2’deki gibi tavana bağlanması durumunda yeni periyodu nedir?

Answer:

Yayların Parçalara Ayrılması ve Yay Sabiti Değişimi

  • Başlangıçta elimizde k yay sabitine sahip tek bir yay var. Bu yayın ucuna asılan cismin periyodu
    T = 2\pi \sqrt{\frac{m}{k}}
    olarak verilmiş.
  • Yay, iki özdeş parçaya bölündüğünde, her bir parçanın uzunluğu yarıya inmiş olur. Sabit kesit alanı ve malzemesi değişmediği varsayımıyla, bir yay yarı uzunluğa düşünce yay sabiti 2k olur (çünkü yay sabiti, uzunluk kısaldıkça artar).

Paralel Bağlantıda Toplam Yay Sabiti

  • Şekil 2’de iki yeni (yarı uzunlukta) yay paralel bağlanmıştır.
  • Paralel bağlı yaylarda toplam yay sabiti k_{\text{toplam}} = k_1 + k_2 kuralına göre hesaplanır.
  • Her bir parçanın yay sabiti 2k olduğundan, ikisi paralel bağlanınca:
    k_{\text{toplam}} = 2k + 2k = 4k

Yeni Periyot Hesabı

  • Yapılan basit harmonik hareketin yeni periyodu T_{\text{yeni}}:

    T_{\text{yeni}} = 2\pi \sqrt{\frac{m}{k_{\text{toplam}}}}

  • Yukarıdaki ifadede k_{\text{toplam}} = 4k olduğundan:

    T_{\text{yeni}} = 2\pi \sqrt{\frac{m}{4k}}

  • Bu da orijinal periyod olan T = 2\pi \sqrt{\frac{m}{k}} değeriyle karşılaştırıldığında:

    T_{\text{yeni}} = \frac{T}{2}

Sonuç

Özetle, yay ikiye bölünüp paralel bağlandığında yeni periyot, başlangıçtaki periyodun yarısı olur. Seçeneklerden de görüleceği gibi bu, 1/2 T değerine tekabül etmektedir.

@Yksogrenci