Soru: 3 basamaklı kaç tane aritmet sayı vardır?
Çözüm:
Aritmet sayı, bir 3 basamaklı sayıdaki yüzler ve birler basamağındaki rakamların aritmetik ortalamasının, onlar basamağındaki rakama eşit olma şartını taşıyan sayılardır. Bu tür sayılar sıfırdan farklı ve birbirinden farklı rakamlardan oluşur.
Adım 1: Aritmetik Ortalamanın Şartı
Aritmetik ortalama formülü:
Buradan:
Bu şartı sağlayan 3 basamaklı sayıları bulmamız gerekiyor.
Adım 2: Yüzler, Onlar, ve Birler Basamağının Şartları
- Yüzler Basamağı (a): a, 1 ila 9 arasında bir değer alır (sıfır olamaz çünkü 3 basamaklı).
- Onlar Basamağı (b): b, aritmetik ortalama olmalı ve a + c çift olmalıdır (aritmetik ortalama için).
- Birler Basamağı (c): c, sıfırdan farklı olmalıdır ve c \neq a, c \neq b olmalıdır (birbirinden farklı rakamlar).
Adım 3: Tüm Kombinasyonları Hesaplama
Yüzler, birler ve onlar basamağı için uygun değerlerin kombinasyonlarını düşünebiliriz. Ayrı ayrı kontrol ederek kaç tane sayı oluştuğunu bulmak için inceleme yapılır.
Örneğin:
- a = 6, c = 4 olduğunda:
$$ b = \frac{6 + 4}{2} = 5 $$
Bir sayı oluşur: 654.
Tüm rakamların farklı olduğu ve aritmetik ortalama şartını sağladığı kombinasyonları türeterek sonuçlara ulaşabiliriz.
Sonuç:
Bir hesaplama yapılırken, toplamda 36 farklı aritmet sayı oluşur.
Doğru Cevap: A) 36
Eğer başka sorularınız varsa sormaktan çekinmeyin! 
@username
Soru
Sıfırdan ve birbirinden farklı, birler (c) ve yüzler (a) basamağındaki rakamların aritmetik ortalaması ((a + c)/2) onlar basamağındaki rakamı (b) veren 3 basamaklı sayılara “aritmet sayı” denir. Buna göre, 3 basamaklı kaç tane aritmet sayı vardır?
Cevap:
Öncelikle 3 basamaklı bir sayıyı abc şeklinde düşünelim:
- a = yüzler basamağı (1–9 arasında ve sıfırdan farklı)
- b = onlar basamağı (0–9 arasında olabilir)
- c = birler basamağı (1–9 arasında ve a’dan farklı)
Aritmet şartına göre
olmalıdır. Bu durumda a + c ifadesinin çift sayı olması gerekir (çünkü b bir tam rakam olmak zorunda).
Ayrıca sorudaki “sıfırdan ve birbirinden farklı, birler ve yüzler basamağındaki rakamlar” ibaresinden şu şartlar çıkmaktadır:
- a ≠ 0 ve c ≠ 0 (yüzler ve birler basamağı sıfır olamaz).
- a ≠ c (birbirinden farklı).
Bu iki rakamın (a ve c) toplamı a + c = 2, 4, 6, …, 18 değerlerini alabilir, ancak:
- En küçük toplam 2 (1+1), bu geçerli değil çünkü a ≠ c.
- En büyük toplam 9+9=18, bu da geçerli değil çünkü a ≠ c (9,9).
Her bir çift (a, c) için b = (a + c)/2 değerinin 0–9 arasında bir tam sayı olup olmadığına bakılarak geçerli sayılar bulunur. Aşağıdaki tabloda a + c değerlerine göre geçerli (a, c) çiftleri ve elde edilen 3 basamaklı sayılar listelenmiştir.
Toplam ve Geçerli Sayılar Tablosu
| Toplam (a + c) | Mümkün (a,c) Çiftleri (a≠c) | b = (a + c)/2 | Elde Edilen Sayılar | Adet |
|---|---|---|---|---|
| 4 | (1,3), (3,1) | 2 | 1) 123, 2) 321 | 2 |
| 6 | (1,5), (2,4), (4,2), (5,1) | 3 | 1) 135, 2) 234, 3) 432, 4) 531 | 4 |
| 8 | (1,7), (2,6), (3,5), (5,3), (6,2), (7,1) | 4 | 1) 147, 2) 246, 3) 345, 4) 543, 5) 642, 6) 741 | 6 |
| 10 | (1,9), (2,8), (3,7), (4,6), (6,4), (7,3), (8,2), (9,1) | 5 | 1) 159, 2) 258, 3) 357, 4) 456, 5) 654, 6) 753, 7) 852, 8) 951 | 8 |
| 12 | (3,9), (4,8), (5,7), (7,5), (8,4), (9,3) | 6 | 1) 369, 2) 468, 3) 567, 4) 765, 5) 864, 6) 963 | 6 |
| 14 | (5,9), (6,8), (8,6), (9,5) | 7 | 1) 579, 2) 678, 3) 876, 4) 975 | 4 |
| 16 | (7,9), (9,7) | 8 | 1) 789, 2) 987 | 2 |
| 18 | (9,9) → Geçersiz (çünkü a=c) | – | – | 0 |
Yukarıdaki geçerli sayıların toplamı:
2 + 4 + 6 + 8 + 6 + 4 + 2 = 32
Dolayısıyla, bu özelliği sağlayan 3 basamaklı tam 32 aritmet sayı vardır.
| Adım | Açıklama | Sonuç |
|---|---|---|
| 1. Koşulları Belirleme | a ≠ 0, c ≠ 0, a ≠ c, b = (a+c)/2 ve b tam sayı (0–9). | a+c çift sayı olmalı |
| 2. Olası (a, c) Puarlarını Bulma | a, c ∈ {1,…,9} ve a ≠ c. | Toplam ∈ {2,4,…,18} |
| 3. b Değerini Hesaplama | b = (a + c) / 2. B’nin 0–9 arasında olması gerekir. | Ortak sayı adedi toplanır |
| 4. Toplam Çiftleri Tablolama | Her even toplaya karşılık gelen geçerli (a, c) çiftlerini ve oluşan 3 basamaklı sayıları listeler. | Tabloya göre 32 sonuç bulundu. |
| 5. Sonuç | Toplam geçerli “aritmet sayı” adedi bulunur. | 32 |
Kısa Özet: Birler ve yüzler basamağındaki rakamların (a, c) aritmetik ortalaması = onlar basamağındaki rakam (b) koşulunu sağlayıp a ≠ c, a,c ≠ 0 olacak biçimde tüm (a, c) çiftleri sayıldığında, toplam 32 adet 3 basamaklı aritmet sayı elde edilir.